Em cada item, determine o plano tangente ao gráfico da função
em
.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais, que nos ajudam a determinar como a função muda em cada direção.
Passo 2
O plano tangente a uma superfície em um ponto específico pode ser encontrado usando a fórmula:
onde:
-
é o valor da função no ponto dado. -
e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, avaliadas no ponto .
Passo 3
Vamos calcular
:
Então,
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais
e
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Avaliando em
:
Passo 5
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Avaliando em
:
Passo 6
Com esses valores, substituímos na fórmula do plano tangente:
Resposta
O plano tangente ao gráfico de
no ponto
é dado por: