Em cada item, determine o plano tangente ao gráfico da função f em (x0, y0).
f(x, y)=e^x cos (x y),(x0, y0)=(0,0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o plano tangente ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais, que nos ajudam a determinar como a função muda em cada direção.

Passo 2

O plano tangente a uma superfície em um ponto específico pode ser encontrado usando a fórmula:
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
onde:
  • é o valor da função no ponto dado.
  • e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, avaliadas no ponto .

Passo 3

Vamos calcular f(0, 0) = e^0 cos(0 times 0) = 1 times cos(0) = 1 times 1 = 1 :
Então, .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais fx(x, y) = partialpartial x ( e^x cos(xy) ) = e^x cos(xy) + e^x ( -sin(xy) cdot y ) = e^x ( cos(xy) - y sin(xy) ) e fx(0, 0) = e^0 ( cos(0) - 0 times sin(0) ) = 1 times (1 - 0) = 1 .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Avaliando em :

Passo 5

Agora, a derivada parcial em relação a fy(x, y) = partialpartial y ( e^x cos(xy) ) = e^x ( -sin(xy) cdot x ) = -x e^x sin(xy) :
fy(0, 0) = -0 times e^0 times sin(0) = 0
Avaliando em :

Passo 6

Com esses valores, substituímos na fórmula do plano tangente:
z = f(0, 0) + fx(0, 0)(x - 0) + fy(0, 0)(y - 0) = 1 + 1 cdot x + 0 cdot y = 1 + x

Resposta

O plano tangente ao gráfico de z = 1 + x no ponto é dado por:

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