Seja o campo vetorial dado por
.
Determine se
é ou não é um campo vetorial conservador
Determine se
Passo 1
O enunciado dá o campo
. O conteúdo é verificar se
é conservativo. Para isso vamos usar o critério do rotacional: em domínios simplesmente conexos,
é conservativo se e somente se
.
Passo 2
Definimos
com
,
e
, e vamos calcular o rotacional componente a componente.
O rotacional é dado por
O rotacional é dado por
Passo 3
Calculamos cada componente do rotacional:
- Componente
: . - Componente
: . - Componente
: .
Passo 4
Como todas as componentes do rotacional são nulas e o domínio é
(simplesmente conexo), concluímos que
em todo o domínio, logo
é conservativo.
Resposta
Sim. O campo
é conservativo, pois
em
.