Seja o campo vetorial dado por F(x, y, z)=(y z)i+(x z)j+(x y+z z) k.
Determine se F é ou não é um campo vetorial conservador

Passo 1

O enunciado dá o campo F(x,y,z)=(yz)i+(xz)j+(xy+z^2)k. O conteúdo é verificar se F é conservativo. Para isso vamos usar o critério do rotacional: em domínios simplesmente conexos, F é conservativo se e somente se nabla times F=0.

Passo 2

Definimos F=(P,Q,R) com P=yz, Q=xz e R=xy+z^2, e vamos calcular o rotacional componente a componente.
O rotacional é dado por
nabla times F=l(tfracpartial Rpartial y-tfracpartial Qpartial zr)i+l(tfracpartial Ppartial z-tfracpartial Rpartial xr)j+l(tfracpartial Qpartial x-tfracpartial Ppartial yr)k

Passo 3

Calculamos cada componente do rotacional:
  • Componente i: tfracpartial Rpartial y-tfracpartial Qpartial z=tfracpartial(xy+z^2)partial y-tfracpartial(xz)partial z=x - x=0.
  • Componente j: tfracpartial Ppartial z-tfracpartial Rpartial x=tfracpartial(yz)partial z-tfracpartial(xy+z^2)partial x=y - y=0.
  • Componente k: tfracpartial Qpartial x-tfracpartial Ppartial y=tfracpartial(xz)partial x-tfracpartial(yz)partial y=z - z=0.

Passo 4

Como todas as componentes do rotacional são nulas e o domínio é R^3 (simplesmente conexo), concluímos que nabla times F=0 em todo o domínio, logo F é conservativo.

Resposta

Sim. O campo F é conservativo, pois nabla times F=0 em R^3.

Exercícios relacionados