Seja o campo vetorial dado por F(x, y, z)=(y z)i+(x z)j+(x y+z z) k.
Se for conservador, determine uma função f tal que F=nabla f.

Passo 1

Temos o campo vetorial F(x,y,z) = (yz)i + (xz)j + (xy + z^2)k. O conteúdo é verificar conservatividade e encontrar um potencial escalar f tal que nabla f = F.

Passo 2

Em R^3 simplesmente conexo, basta checar se o rotor de F é nulo. Seja P=yz, Q=xz e R=xy+z^2. Calculamos:
partial Ppartial y=z, partial Qpartial x=z;
partial Ppartial z=y, partial Rpartial x=y;
partial Qpartial z=x, partial Rpartial y=x.
Como todas as derivadas casam, temos curl,F=0, logo o campo é conservador.

Passo 3

Para achar o potencial f, integramos
partial fpartial x = yz
em relação a x:
f(x,y,z) = integral yz,dx = xyz + g(y,z)

Passo 4

Diferenciando a expressão acima em relação a y:
partial fpartial y = xz + partial gpartial y.
Como isso deve ser igual a Q = xz, concluímos partial g/partial y = 0, ou seja, g(y,z)=h(z).

Passo 5

Diferenciando agora em relação a z:
partial fpartial z = xy + h'(z).
Isso deve bater com R = xy + z^2, logo h'(z)=z^2. Integrando,
h(z) = integral z^2,dz = z^33 + C

Resposta

f(x,y,z) = xyz + z^33 + C

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