lim (x, y) (0,0) x+yx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite de uma função de duas variáveis: lim(x,y)to(0,0)x+yx^2+y^2. O conteúdo envolvido é existência de limite em R^2 e vamos precisar usar o teste de trajetórias (direções) para ver se o limite é único.

Passo 2

Em R^2, um limite existe se e somente se todas as trajetórias que se aproximam do ponto dão o mesmo valor. Para explorar isso, considere a reta genérica y=mx. Substituindo na expressão, temos:
x+yx^2+y^2 = x + m xx^2 + m^2 x^2 = x(1+m)x^2(1+m^2) = 1+mx(1+m^2)
Para mneq -1, o numerador 1+m é não nulo, então conforme xto0 esse quociente diverge (vai para pminfty), mostrando que não há convergência a um número finito.

Passo 3

Agora veja a trajetória especial m=-1, ou seja, y=-x. Aí o numerador fica x + (-x)=0 e o denominador x^2 + (-x)^2=2x^2, resultando em
02x^2 = 0
Ou seja, ao longo de y=-x o limite vale 0.

Passo 4

Como em uma direção o limite tende a 0 e em outras tende a infty (ou -infty), não existe um único valor que sirva para todas as trajetórias. Portanto o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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