Em cada item, determine o plano tangente ao gráfico da função f em (x0, y0).
f(x, y)=xy^2,(x0, y0)=(-4,2).

Passo 1

Aqui queremos achar o plano tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis. O conteúdo chave é derivadas parciais e a fórmula do plano tangente. Vamos usar a fórmula
z = f(x0,y0) + fx(x0,y0)(x - x0) + fy(x0,y0)(y - y0)
onde (x0,y0)=(-4,2).

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=xy^2:
fx(x,y)=partialpartial xgl(xy^2gr)=1y^2,
fy(x,y)=partialpartial ygl(xy^2gr)=xcdotpartialpartial yl(y^-2r)=x(-2)y^-3=-2xy^3
Avaliaremos em (x0,y0)=(-4,2):
f(-4,2)=-42^2=-1,
fx(-4,2)=12^2=14,
fy(-4,2)=-2(-4)2^3=88=1

Passo 3

Agora montamos o plano tangente substituindo na fórmula:
z = -1 + 14,(x + 4) + 1,(y - 2)
Podemos simplificar:
z = -1 + 14 x + 1 + y - 2 = x4 + y - 2

Resposta

z = x4 + y - 2

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