Passo 1
O enunciado pede o valor de
lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x2y-2x2}{x2+y2-4y+4}. O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar continuidade para resolver. Precisamos verificar o comportamento do denominador e da função próxima de (0,0).
lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x2y-2x2}{x2+y2-4y+4}. O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar continuidade para resolver. Precisamos verificar o comportamento do denominador e da função próxima de (0,0).
Passo 2
Observe que o denominador pode ser simplificado completando o quadrado em y. Temos:
Isso mostra que o denominador nunca zera perto de (0,0) e tende a um valor fixo.
Passo 3
Como o denominar tende a
que em (0,0) vale
, temos limite do denominador diferente de zero. Logo a função é contínua em (0,0) e podemos avaliar o limite pela substituição direta.
Passo 4
Substituindo
e
no numerador e denominador: o numerador fica
e o denominador fica
. Portanto o valor da função em (0,0) é
.
Passo 5
Concluímos, pelo critério de continuidade de funções de duas variáveis, que o limite existe e é igual a 0.
Resposta
0