lim (x, y) (0,0) x^2 y-2 x^2x^2+y^2-4 y+4

Passo 1

O enunciado pede o valor de
lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x2y-2x2}{x2+y2-4y+4}. O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar continuidade para resolver. Precisamos verificar o comportamento do denominador e da função próxima de (0,0).

Passo 2

Observe que o denominador pode ser simplificado completando o quadrado em y. Temos:
x^2 + y^2 - 4y + 4 = x^2 + (y-2)^2
Isso mostra que o denominador nunca zera perto de (0,0) e tende a um valor fixo.

Passo 3

Como o denominar tende a x^2+(y-2)^2 que em (0,0) vale 0+(0-2)^2=4, temos limite do denominador diferente de zero. Logo a função é contínua em (0,0) e podemos avaliar o limite pela substituição direta.

Passo 4

Substituindo x=0 e y=0 no numerador e denominador: o numerador fica 0^2cdot0 -2cdot0^2=0 e o denominador fica 0^2+(0-2)^2=4. Portanto o valor da função em (0,0) é 0/4=0.

Passo 5

Concluímos, pelo critério de continuidade de funções de duas variáveis, que o limite existe e é igual a 0.

Resposta

0

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