Verifique que
é um campo conservativo em
. Em caso afirmativo, calcular
onde a notação
significa a integral de linha ao longo de qualquer caminho de
a
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que o campo
é conservativo em
e, em seguida, calcular a integral de linha de
até
ao longo de qualquer caminho. O conteúdo principal é teste de conservatividade e construção de potencial escalar.
Passo 2
Para checar se
é conservativo num domínio simplesmente conexo, usamos o teste
. Aqui
e
. Calculamos:
Como as derivadas mistas coincidem,
Passo 3
Agora vamos achar uma função potencial
tal que
. Integramos
em relação a
:
Logo,
Passo 4
Como o campo é conservativo, a integral de linha é independente do caminho e vale
. Calculamos:
Resposta
e^2 - e