Verifique que F(x, y)=(e^x+y+1, e^x+y) é um campo conservativo em R^2. Em caso afirmativo, calcular
integral(1,0)^((1,1) F cdot d r
onde a notação integral(1,0)^(1,1) significa a integral de linha ao longo de qualquer caminho de (1,0) a (1,1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o campo F(x,y)=(e^x+y+1,,e^x+y) é conservativo em R^2 e, em seguida, calcular a integral de linha de (1,0) até (1,1) ao longo de qualquer caminho. O conteúdo principal é teste de conservatividade e construção de potencial escalar.

Passo 2

Para checar se F=(P,Q) é conservativo num domínio simplesmente conexo, usamos o teste partial P/partial y = partial Q/partial x. Aqui P(x,y)=e^x+y+1 e Q(x,y)=e^x+y. Calculamos:
partial Ppartial y=e^x+y, partial Qpartial x=e^x+y
Como as derivadas mistas coincidem, F é conservativo em R^2.

Passo 3

Agora vamos achar uma função potencial f(x,y) tal que nabla f = F. Integramos P em relação a x:
f(x,y)=integral (e^x+y+1),dx = e^x+y+x+g(y), onde g(y) é uma função a determinar. Derivando f em relação a y e igualando a Q temos:
partial fpartial y=e^x+y+g'(y)stackrel!=e^x+yimplies g'(y)=0
Logo, g(y) é constante e podemos tomar f(x,y)=e^x+y+x desprezando a constante.

Passo 4

Como o campo é conservativo, a integral de linha é independente do caminho e vale f(1,1)-f(1,0). Calculamos:
f(1,1)-f(1,0)=(e^2+1)-(e^1+1)=e^2-e

Resposta

e^2 - e

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