Em cada item, determine a posição relativa, a intersecção e o ângulo entre a reta r e o plano pi.
r:(x, y, z)=(2,-1,1)+t(1,2,-1) e pi: x-y-z-3=0.

Passo 1

O enunciado pede para cada item determinarmos (i) a posição relativa entre a reta r e o plano pi, (ii) a intersecção (se houver) e (iii) o ângulo entre r e pi. O conteúdo é geometria analítica no espaço, e vamos usar: vetor diretor da reta, vetor normal do plano, produto escalar e definição de ângulo entre reta e plano.

Passo 2

Extraímos da reta
r:;(x,y,z)=(2,-1,1)+t,(1,2,-1)
o vetor diretor
v=(1,2,-1),
e do plano
pi:;x - y - z -3 = 0
o vetor normal
n=(1,-1,-1)

Passo 3

Calculamos o produto escalar
vcdotn =1cdot1 + 2cdot(-1) + (-1)cdot(-1) =1 - 2 +1 = 0
Como vcdotn=0, concluímos que a reta r é paralela ao plano pi.

Passo 4

Para ver se r está contida em pi ou é simplesmente paralela e distinta, testamos o ponto inicial P0=(2,-1,1) em pi:
2 -(-1) -1 -3 = 2+1-1-3 = -1 neq 0
Logo, P0 não satisfaz a equação do plano, ou seja, r não está em pi. Concluímos que r e pi são paralelas e sem intersecção.

Passo 5

O ângulo alpha entre a reta e o plano é dado por
alpha = 90^circ - theta,
sendo theta o ângulo entre v e n, com
costheta = |vcdotn||v||n|
Aqui vcdotn=0 implica costheta=0, ou seja theta=90^circ. Portanto
alpha = 90^circ - 90^circ = 0^circ

Resposta

Posição relativa: a reta r é paralela ao plano pi e não o intercepta.
Intersecção: não existe.
Ângulo entre r e pi: 0^circ.

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