Determine uma equação para a reta que contém o ponto P=(1,1,0), é paralela ao plano pi : 2 x+y-z-3=0 e é concorrente à reta r:(x, y, z)=(1,0,0)+t(-1,0,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma reta ell em R^3 que:
  1. Passa pelo ponto P=(1,1,0).
  2. É paralela ao plano picolon 2x+y-z-3=0.
  3. Intersecta (é concorrente) à reta rcolon (x,y,z)=(1,0,0)+t(-1,0,1).
    O conteúdo envolvido é geometria analítica no espaço: condição de paralelismo reta–plano e interseção de duas retas.

Passo 2

Sejam v=(a,b,c) o vetor diretor de ell e n=(2,1,-1) o vetor normal de pi.
A reta ell ser paralela a pi implica
vcdot n=0 Longrightarrow 2a+b-c=0

Passo 3

Para que ell intersecte r deve haver parâmetros s,t tais que
P + s,v ;=; (1,1,0)+s(a,b,c) ;=; (1,0,0)+t(-1,0,1)
Reescrevendo,
s,(a,b,c) = (1,0,0)-(1,1,0)+t(-1,0,1) = (-t,,-1,;t)
Isto mostra que v é paralelo ao vetor (-t,-1,t).

Passo 4

Podemos então tomar
v = (-t,-1,t)
e usar a condição 2a+b-c=0:
2(-t)+(-1)-t=0 Longrightarrow -3t-1=0 Longrightarrow t=-tfrac13
Substituindo em v e removendo fator comum, obtemos
v = l(-(-tfrac13),,-1,,-tfrac13r) = l(tfrac13,,-1,,-tfrac13r) ;propto; (1,,-3,,-1)

Passo 5

Logo, um vetor diretor de ell é (1,-3,-1) e, como ell passa por P=(1,1,0), sua equação vetorial é
(x,y,z) = (1,1,0) + lambda,(1,-3,-1), lambdainR

Resposta

boxed(x,y,z) = (1,1,0) + lambda,(1,-3,-1),;lambdainR

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