Em cada item, determine a posição relativa, a intersecção e o ângulo entre a reta r e o plano pi.
r:(x, y, z)=(0,1,-1)+t(0,3,2) e pi: 3 y+2 z-1=0.

Passo 1

O enunciado dá a reta
r:;(x,y,z)=(0,1,-1)+t,(0,3,2)
e o plano
pi:;3y+2z-1=0
Queremos (i) a posição relativa (paralela, coincidente ou secante) de r em relação a pi, (ii) o ponto de interseção quando houver, e (iii) o ângulo entre r e pi. Para isso usaremos produto escalar (para posição relativa e ângulo) e substituição do parâmetro na equação do plano (para interseção).

Passo 2

Identificamos o vetor diretor de r e o vetor normal de pi:
vec v = (0,3,2), vec n = (0,3,2)
Calculamos o produto escalar
vec vcdotvec n =0cdot0 + 3cdot3 + 2cdot2 =9+4 =13neq0
Como vec v é paralelo a vec n (vetores proporcionais) e não ortogonal a ele, concluímos que a reta r não é paralela ao plano e, na verdade, é perpendicular ao plano.

Passo 3

Para achar o ponto de interseção, substituímos
y=1+3t, z=-1+2t
em 3y+2z-1=0:
3(1+3t)+2(-1+2t)-1=0 Longrightarrow 3+9t-2+4t-1=0 Longrightarrow 13t=0 Longrightarrow t=0
Logo o ponto de interseção é
P = (x,y,z)l|t=0 = (0,1,-1)

Passo 4

O ângulo varphi entre a reta r e o plano pi é o complementar do ângulo psi entre vec v e vec n:
cospsi =|vec vcdotvec n||vec v||vec n| =13raiz13,raiz13 =1 Longrightarrow psi=0^circ,
varphi = 90^circ - psi = 90^circ

Resposta

A reta r é secante e, mais precisamente, perpendicular ao plano pi; o ponto de interseção é
P=(0,1,-1),
e o ângulo entre a reta e o plano vale
90^circ

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