( 2,0 pt ) Calcule o limite, quando ele existir.
lim x 0 1-cos 2 x4 x

Passo 1

O enunciado pede
limxto 01-cos2x4x
O conteúdo envolve cálculo de limites e, como ao substituir x=0 temos numerador e denominador nulos, vamos usar a regra de L’Hôpital para indeterminações do tipo tfrac00.

Passo 2

Verificamos a indeterminação:
1-cos(2cdot0)=1-1=0, 4cdot0=0,
logo tfrac00, condição para aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Pela regra de L’Hôpital,
limxto01-cos2x4x =limxto0ddxl(1-cos2xr)ddx(4x)
Calculamos as derivadas:
ddxl(1-cos2xr)=2sin2x, ddx(4x)=4
Então
limxto01-cos2x4x =limxto02sin2x4 =limxto0sin2x2

Passo 4

Para xto0 temos sin2xto0, logo
limxto0sin2x2=0

Resposta

O limite existe e vale 0.

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