Em cada item, determine a posição relativa, a intersecção e o ângulo entre a reta r e o plano pi.
r:(x, y, z)=(-2,0,3)+t(1,-1,3) e pi: x+y+z-4=0.

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos a posição relativa entre a reta r e o plano pi, encontrar o ponto de interseção quando houver e calcular o ângulo entre eles. Neste tipo de problema vamos usar produto escalar para testar paralelismo, resolver a equação do plano substituindo a reta para achar o ponto de interseção e usar a relação entre o vetor diretor da reta e a normal do plano para o ângulo.

Passo 2

Identificamos o vetor diretor da reta
vec v = (1,-1,3)
e o vetor normal ao plano
vec n = (1,1,1)
Calculamos o produto escalar
vec v cdot vec n = 1 + (-1) + 3 = 3 neq 0,
logo a reta não é paralela ao plano e portanto eles se intersectam (posição relativa: secante).

Passo 3

Para achar o ponto de interseção, substituímos
(x,y,z)=(-2+t,;0-t,;3+3t)
na equação do plano pi: x+y+z-4=0, obtendo
(-2+t)+(0-t)+(3+3t)-4=0 ;Longrightarrow;-3+3t=0 ;Longrightarrow;t=1
Assim o ponto de interseção é
P = (-2+1,;0-1,;3+3) = (-1,,-1,,6)

Passo 4

O ângulo alpha entre a reta e o plano satisfaz
sinalpha = lvert vec v cdot vec nrvert|vec v|,|vec n|,
onde
|vec v| = raiz1^2+(-1)^2+3^2=raiz11, |vec n|=raiz1^2+1^2+1^2=raiz3
Logo
sinalpha = 3raiz11,raiz3 = 3raiz33,
e
alpha = arcsin!l(3raiz33r)

Resposta

Posição relativa: secante (intersectam).
Interseção: P=(-1,-1,6).
Ângulo: alpha = arcsinl(tfrac3raiz33r).

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