Em cada item determine se a proposição é falsa ou verdadeira e justifique com uma demonstração ou um contra-exemplo.
Seja A uma matriz 2 \times 2. Então A e A^{t} tem os mesmos autovetores.

Passo 1

O que o enunciado pede: decidir se a proposição abaixo é verdadeira ou falsa e justificar.
Proposição: “Seja A uma matriz 2\times2. Então A e A^{t} têm os mesmos autovetores.”
Informações dadas: uma matriz quadrada A de ordem 2. Não há outras hipóteses (por exemplo simetria ou diagonalizabilidade) impostas.

Passo 2

Definição básica (para não pular etapas): um vetor não-nulo v é autovetor de uma matriz A associado ao autovalor \lambda se
A v = \lambda v.
Para encontrar autovetores resolve-se o sistema linear
(A-\lambda I)v=0,
onde I é a matriz identidade. O conjunto de soluções não-nulas desse sistema é o subespaço próprio associado a \lambda.

Passo 3

Fato relacionado (autovalores): a matriz A e sua transposta A^{t} têm o mesmo polinômio característico, porque
\det(A-\lambda I)=\det\big((A-\lambda I)^{t}\big)=\det(A^{t}-\lambda I).
Logo A e A^{t} têm os mesmos autovalores (com multiplicidades algébricas). Atenção: ter os mesmos autovalores não significa automaticamente ter os mesmos autovetores — os subespaços próprios podem ser diferentes.

Passo 4

Relação entre autovetores à esquerda e à direita (intuição útil): se A v=\lambda v então, transpondo,
v^{t}A^{t}=\lambda v^{t},
ou seja, v^{t} é um autovetor (linha) da matriz A^{t} visto como autovetor à esquerda de A. Isso mostra que autovetores de A correspondem a autovetores à esquerda de A, mas não garante que o mesmo vetor coluna v seja autovetor coluna de A^{t}. Portanto há razão para suspeitar que a proposição pode ser falsa em geral.

Passo 5

Contraexemplo explícito e simples (mostrando que a proposição é falsa):
Escolha
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Calcule os autovalores: o polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[4pt] 0 & -\lambda\end{pmatrix}=(-\lambda)(-\lambda)=\lambda^{2},
logo o único autovalor é \lambda=0 (multiplicidade algébrica 2).
Agora ache os autovetores de A. Para v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} a equação A v = 0
\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y\\[4pt] 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Isto implica y=0 e x livre. Portanto os autovetores (coluna) de A são todos os múltiplos de
\begin{pmatrix}1\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Agora considere a transposta
A^{t}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Para w=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} a equação A^{t} w = 0
\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Isto implica x=0 e y livre. Portanto os autovetores (coluna) de A^{t} são todos os múltiplos de
\begin{pmatrix}0\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Comparação: os autovetores de A são múltiplos de \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e os autovetores de A^{t} são múltiplos de \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}. Esses subespaços próprios são diferentes, logo A e A^{t} NÃO têm os mesmos autovetores neste exemplo.]

Passo 6

Conclusão e comentário final: o contraexemplo mostra que a proposição é falsa em geral. Observação útil: a proposição fica verdadeira sob hipóteses adicionais, por exemplo se A for simétrica real ( A=A^{t}) ou, mais geralmente, se A pertencer a uma classe onde a transposição preserva os autovetores (casos especiais), mas sem essas hipóteses não há garantia.

Resposta

Falsa.

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