Em cada item determine se a proposição é falsa ou verdadeira e justifique com uma demonstração ou um contra-exemplo.
Seja
uma matriz
. Então
e
tem os mesmos autovetores.
Seja
Passo 1
O que o enunciado pede: decidir se a proposição abaixo é verdadeira ou falsa e justificar.
Proposição: “Seja
uma matriz
. Então
e
têm os mesmos autovetores.”
Informações dadas: uma matriz quadrada
de ordem
. Não há outras hipóteses (por exemplo simetria ou diagonalizabilidade) impostas.
Passo 2
Definição básica (para não pular etapas): um vetor não-nulo
é autovetor de uma matriz
associado ao autovalor
se
Para encontrar autovetores resolve-se o sistema linear
onde
é a matriz identidade. O conjunto de soluções não-nulas desse sistema é o subespaço próprio associado a
.
Passo 3
Fato relacionado (autovalores): a matriz
e sua transposta
têm o mesmo polinômio característico, porque
Logo
e
têm os mesmos autovalores (com multiplicidades algébricas). Atenção: ter os mesmos autovalores não significa automaticamente ter os mesmos autovetores — os subespaços próprios podem ser diferentes.
Passo 4
Relação entre autovetores à esquerda e à direita (intuição útil): se
então, transpondo,
ou seja,
é um autovetor (linha) da matriz
visto como autovetor à esquerda de
. Isso mostra que autovetores de
correspondem a autovetores à esquerda de
, mas não garante que o mesmo vetor coluna
seja autovetor coluna de
. Portanto há razão para suspeitar que a proposição pode ser falsa em geral.
Passo 5
Contraexemplo explícito e simples (mostrando que a proposição é falsa):
Escolha
Calcule os autovalores: o polinômio característico é
logo o único autovalor é
(multiplicidade algébrica
).
Agora ache os autovetores de
. Para
a equação
dá
Isto implica
e
livre. Portanto os autovetores (coluna) de
são todos os múltiplos de
Agora considere a transposta
Para
a equação
dá
Isto implica
e
livre. Portanto os autovetores (coluna) de
são todos os múltiplos de
Comparação: os autovetores de
são múltiplos de
e os autovetores de
são múltiplos de
. Esses subespaços próprios são diferentes, logo
e
NÃO têm os mesmos autovetores neste exemplo.]
Passo 6
Conclusão e comentário final: o contraexemplo mostra que a proposição é falsa em geral. Observação útil: a proposição fica verdadeira sob hipóteses adicionais, por exemplo se
for simétrica real (
) ou, mais geralmente, se
pertencer a uma classe onde a transposição preserva os autovetores (casos especiais), mas sem essas hipóteses não há garantia.
Resposta
Falsa.