Em cada item determine os valores mínimo e máximo (respectivamente
e
) que a função dada assume no intervalo especificado.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para achar os valores mínimo e máximo de uma função contínua em um intervalo fechado – tema de extremos de funções em cálculo diferencial. Vamos precisar usar o teste de derivada: encontrar pontos críticos onde f’(x)=0 e comparar os valores de f nesses pontos com os valores nos extremos do intervalo.
Passo 2
A derivada de f(x)=x³−2x² é dada por
Os pontos críticos surgem de f’(x)=0, ou seja x=0 e x=4/3. Como o intervalo dado é [−2,1], só consideramos x=0 (já que 4/3 está fora).
Passo 3
Agora avaliamos f nos pontos relevantes: as extremidades x=−2 e x=1, e o ponto crítico x=0.
Para x=−2:
Para x=−2:
Para x=1:
Para x=0:
Passo 4
Comparando os três valores obtidos, vemos que o menor é f(−2)=−16 e o maior é f(0)=0. Portanto os extremos no intervalo [−2,1] são:
Resposta
m=−16 e M=0