Em cada item determine os valores mínimo e máximo (respectivamente m e M ) que a função dada assume no intervalo especificado.
(a) f(x)=x^3-2 x^2, x in[-2,1]

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores mínimo e máximo de uma função contínua em um intervalo fechado – tema de extremos de funções em cálculo diferencial. Vamos precisar usar o teste de derivada: encontrar pontos críticos onde f’(x)=0 e comparar os valores de f nesses pontos com os valores nos extremos do intervalo.

Passo 2

A derivada de f(x)=x³−2x² é dada por
f'(x)=3x²−4x= x(3x−4) ²
Os pontos críticos surgem de f’(x)=0, ou seja x=0 e x=4/3. Como o intervalo dado é [−2,1], só consideramos x=0 (já que 4/3 está fora).

Passo 3

Agora avaliamos f nos pontos relevantes: as extremidades x=−2 e x=1, e o ponto crítico x=0.
Para x=−2:
f(−2)=(−2)³−2(−2)²=−8−2·4=−8−8=−16 ³²
Para x=1:
f(1)=1³−2·1²=1−2=−1 ³²
Para x=0:
f(0)=0³−2·0²=0 ³²

Passo 4

Comparando os três valores obtidos, vemos que o menor é f(−2)=−16 e o maior é f(0)=0. Portanto os extremos no intervalo [−2,1] são:

Resposta

m=−16 e M=0

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