Calcule integralC(x+z) d s, onde C é um arco da curva x=t, y=3 t^2raiz2, z= t^3(0 <= t <= 1).

Passo 1

A questão pede para calcular a integral de linha de uma função escalar ao longo da curva dada por uma parametrização. Aqui o conteúdo é integral de linha de função escalar, e vamos precisar usar que ds=|r'(t)|dt.

Passo 2

A parametrização é r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(t,,tfrac3t^2raiz2,,t^3) para 0<= t<=1. Derivando componente a componente, temos r'(t)=(1,,tfrac6traiz2,,3t^2). Agora o diferencial de arco é dado por
|r'(t)|= raiz1^2+l(tfrac6traiz2r)^2+(3t^2)^2 =raiz1+18t^2+9t^4 =1+3t^2
Como 1+3t^2>0 em [0,1], segue ds=(1+3t^2)dt.

Passo 3

Substituindo x=t e z=t^3 na função f(x,z)=x+z, obtemos f(t)=t+t^3. Logo o integrando fica
(fcirc r)(t),|r'(t)|=(t+t^3)(1+3t^2) =t+4t^3+3t^5

Passo 4

Agora basta calcular a integral em [0,1]:
integral0^1l(t+4t^3+3t^5r)dt =integral0^1t,dt+4integral0^1t^3,dt+3integral0^1t^5,dt =12+4cdot14+3cdot16 =12+1+12=2

Resposta

2

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