Em cada item determine os valores mínimo e máximo (respectivamente
e
) que a função dada assume no intervalo especificado.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores mínimo (
) e máximo (
) que a função
assume no intervalo
. Isso está dentro do assunto de Análise de Funções, mais especificamente sobre encontrar extremos de funções em intervalos fechados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para encontrar os valores mínimo e máximo de uma função em um intervalo, precisamos analisar onde a função pode alcançar esses valores. Isso inclui verificar os pontos críticos da função (onde a derivada é zero ou não existe) e os extremos do intervalo.
Passo 3
Vamos achar a derivada de
. A derivada nos ajuda a encontrar os pontos onde a função tem mudanças de crescimento para decrescimento ou vice-versa.
Aplicando a regra da cadeia para derivar:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
O numerador precisa ser zero:
Então,
é nosso ponto crítico.
Passo 5
Agora, vamos avaliar a função
nos pontos críticos e nos extremos do intervalo
. Ou seja, vamos calcular
,
e
.
Calculando:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, com os valores calculados:
Vamos comparar para ver qual é o menor e qual é o maior valor.
Resposta
O valor mínimo
é
e o valor máximo
é
para a função
no intervalo
.