Em cada item determine os valores mínimo e máximo (respectivamente m e M ) que a função dada assume no intervalo especificado.
© f(x)=1x^2+1 , x in[-1,2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores mínimo ( m) e máximo ( M) que a função f(x) = 1x^2+1 assume no intervalo [-1, 2]. Isso está dentro do assunto de Análise de Funções, mais especificamente sobre encontrar extremos de funções em intervalos fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para encontrar os valores mínimo e máximo de uma função em um intervalo, precisamos analisar onde a função pode alcançar esses valores. Isso inclui verificar os pontos críticos da função (onde a derivada é zero ou não existe) e os extremos do intervalo.

Passo 3

Vamos achar a derivada de f(x). A derivada nos ajuda a encontrar os pontos onde a função tem mudanças de crescimento para decrescimento ou vice-versa.
f(x) = 1x^2 + 1
Aplicando a regra da cadeia para derivar:
f'(x) = -2x(x^2 + 1)^2

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo f'(x) = 0:
-2x(x^2 + 1)^2 = 0
O numerador precisa ser zero:
-2x = 0 Rightarrow x = 0
Então, x = 0 é nosso ponto crítico.

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função f(x) nos pontos críticos e nos extremos do intervalo [-1, 2]. Ou seja, vamos calcular f(-1), f(0) e f(2).
Calculando:
  • Para x = -1:
f(-1) = 1(-1)^2 + 1 = 11 + 1 = 12
  • Para x = 0:
f(0) = 10^2 + 1 = 11 = 1
  • Para x = 2:
f(2) = 12^2 + 1 = 14 + 1 = 15

Passo 6

Agora, com os valores calculados:
  • f(-1) = 12
  • f(0) = 1
  • f(2) = 15
Vamos comparar para ver qual é o menor e qual é o maior valor.

Resposta

O valor mínimo m é 15 e o valor máximo M é 1 para a função f(x) = 1x^2+1 no intervalo [-1, 2].

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