Nos ExercГӯcios 1-6, use a regra de l’HГҙpital para calcular o limite. Em seguida,calcule o limite usando um dos mГ©todos estudados no inГӯcio de nosso curso. O que Г© melhor: calcular usando L’Hopital, ou do jeito antigo?
lim x 0 1-cos xx^2

Passo 1

A gente quer achar o limite limxto01-cos xx^2. O conteúdo é análise de limite de forma indeterminada 0/0, e vamos usar tanto a regra de L’Hôpital quanto um método clássico de trigonometria para comparar.

Passo 2

Primeiro, note que ao fazermos xto0 simultaneamente o numerador e o denominador vão para zero, então temos indeterminação do tipo 0/0. Isso abre espaço pra usar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador: o numerador 1-cos x vira sin x e o denominador x^2 vira 2x. Então o limite fica
limxto01-cos xx^2=limxto0sin x2x=12limxto0sin xx=12cdot1=12

Passo 4

Agora o método “antigo”: use a identidade trigonométrica 1-cos x=2sin^2l(tfrac x2r). Substituindo,
1-cos xx^2=2sin^2(tfrac x2)x^2=2x^2l(sin x2r)^2=2x^2l( x2r)^2l(sin(x/2)(x/2)r)^2=12l(sin(x/2)(x/2)r)^2
Como sin(y)/yto1 quando yto0, temos novamente 12.

Passo 5

Comparando, o método clássico (identidade trigonométrica + limite conhecido) é mais rápido e exige menos cálculo de derivadas, enquanto L’Hôpital é mecânico mas um pouco mais trabalhoso. É mais prático usar o jeito antigo.

Resposta

tfrac12

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