Em cada item determine os valores mínimo e máximo (respectivamente m e M ) que a função dada assume no intervalo especificado.
(e) f(x)=x^4-5 x^2+4, x in[0,2]

Passo 1

Vamos estudar a função f(x)=x^4-5x^2+4 no intervalo [0,2]. O conteúdo é determinação de extremos usando cálculo diferencial e o Teorema do Valor Extremo para funções contínuas em intervalo fechado.

Passo 2

Como f(x) é polinomial, ela é contínua em [0,2] e atinge máximo e mínimo nesse intervalo. Para encontrar candidatos a extremos internos, calculamos a derivada. A derivada é
f'(x)=4x^3-10x=2xl(2x^2-5r)

Passo 3

Temos f'(x)=0 quando
2xl(2x^2-5r)=0,implies x=0ou x^2=52implies x=raiztfrac52

Passo 4

No intervalo [0,2] os candidatos são x=0 e x=raiz5/2. Além disso, devemos avaliar os extremos x=0 e x=2.

Passo 5

Vamos calcular os valores de f:
f(0)=0^4-5cdot0^2+4=4,
fl(raiz5/2r)=l(raiztfrac52r)^4-5l(raiztfrac52r)^2+4=254-252+4=-94,
f(2)=2^4-5cdot2^2+4=16-20+4=0

Passo 6

Comparando, o menor valor é -tfrac94 e o maior é 4.

Resposta

m = -\tfrac94 e M = 4

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