Em cada item determine os valores mínimo e máximo (respectivamente m e M ) que a função dada assume no intervalo especificado.
(f) $ f(x)=x^{4}-5 x^{2}+4, x \in[1,3]$

Passo 1

O enunciado pede os valores mínimo e máximo da função f(x)=x4−5x2+4 no intervalo [1,3]. O conteúdo é cálculo de extremos de funções num intervalo fechado. Para resolver, vamos: (i) calcular a derivada, (ii) achar pontos críticos em (1,3), (iii) avaliar f nos críticos e nas extremidades.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Em bloco fica mais claro:
f'(x)=4x^3-10x=2x(2x^2-5)

Passo 3

Encontramos os pontos onde f’(x)=0:
2x(2x^2-5)=0 implies x=0ou x=pmraiztfrac52
Desses, no intervalo [1,3] só interessa x=\sqrt{5/2}\approx1{,}581.

Passo 4

Agora avaliamos f em x=1, x=\sqrt{5/2} e x=3:
f(1)=1^4-5cdot1^2+4=0,
fl(raiz5/2r)=l(tfrac52r)^2-5cdottfrac52+4=tfrac254-tfrac252+4=-tfrac94,
f(3)=3^4-5cdot3^2+4=81-45+4=40

Passo 5

Comparando os valores: o menor é f(√(5/2))=−9/4 e o maior é f(3)=40. Assim temos m=−9/4 e M=40.

Resposta

m= -\tfrac{9}{4} e M=40

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