Em cada item determine os valores mínimo e máximo (respectivamente
e
) que a função dada assume no intervalo especificado.
(f) $ f(x)=x^{4}-5 x^{2}+4, x \in[1,3]$
(f) $ f(x)=x^{4}-5 x^{2}+4, x \in[1,3]$
Passo 1
O enunciado pede os valores mínimo e máximo da função f(x)=x4−5x2+4 no intervalo [1,3]. O conteúdo é cálculo de extremos de funções num intervalo fechado. Para resolver, vamos: (i) calcular a derivada, (ii) achar pontos críticos em (1,3), (iii) avaliar f nos críticos e nas extremidades.
Passo 2
Calculamos a derivada de f. Em bloco fica mais claro:
Passo 3
Encontramos os pontos onde f’(x)=0:
Desses, no intervalo [1,3] só interessa x=\sqrt{5/2}\approx1{,}581.
Passo 4
Agora avaliamos f em x=1, x=\sqrt{5/2} e x=3:
Passo 5
Comparando os valores: o menor é f(√(5/2))=−9/4 e o maior é f(3)=40. Assim temos m=−9/4 e M=40.
Resposta
m= -\tfrac{9}{4} e M=40