Determine a solução geral das equações diferenciais utilizando o método de variação de parâmetros:
y^prime prime+y=tg x, 0<x<pi2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' + y = tan x, 0<x<tfracpi2,
usando o método de variação de parâmetros. Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes no homogeneizado e termo não homogêneo g(x)=tan x.

Passo 2

Primeiro encontrarmos a solução geral da equação homogênea associada:
y'' + y = 0
A equação característica é r^2+1=0, com raízes r=pm i. Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1cos x + C2sin x

Passo 3

Para a variação de parâmetros supomos uma solução particular da forma
com
O Wronskiano das soluções é

Passo 4

Das fórmulas de variação de parâmetros temos
u1'(x) = -tan x;sin xW = -tan xsin x = -sin^2xcos x,
u2'(x) = tan x;cos xW = tan xcos x = sin x

Passo 5

Agora integramos:
u1(x) = -integral sin^2xcos x,dx = -integrall(sec x - cos xr),dx = -integralsec x,dx + integralcos x,dx = -lnl|sec x + tan xr| + sin x,
u2(x) = integral sin x,dx = -cos x
Constantes de integração podem ser absorvidas em C1 e C2.

Passo 6

A solução particular é
yp(x) = u1(x)cos x + u2(x)sin x = l(-ln|sec x+tan x|+sin xr)cos x +(-cos x)sin x = -cos x,lnl|sec x+tan xr|

Passo 7

Assim a solução geral da equação não homogênea é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1cos x + C2sin x ;-;cos x,lnl|sec x+tan xr|

Resposta

y(x) = C1cos x + C2sin x - cos x,lnl|sec x+tan xr|

Exercícios relacionados