Exercício 2 (Entregar). Admita que T(x, y)=x^2+3 y^2 representa uma distribuição de temperatura no plano x y T(x, y) é a temperatura no ponto ( x, y ) (supondo T em graus e x e y em cm).
(a) Estando-se em (2, 12), qual a direção e sentido de maior crescimento da temperatura? Qual a taxa de crescimento nesta direção?
(b) Estando-se em (2, 12), qual a direção e sentido de maior decréscimo da temperatura? Qual a taxa de decréscimo nesta direção?

Passo 1

O enunciado dá a temperatura
T(x,y)=x^2+3y^2
e pede, em l(2,tfrac12r), (a) a direção e sentido de maior crescimento de T e sua taxa; (b) a direção e sentido de maior decréscimo e sua taxa. Vamos usar derivadas parciais e gradiente, pois o gradiente aponta a direção de maior crescimento e seu módulo é a taxa máxima de variação.

Passo 2

Calculamos o gradiente de T, que é o vetor das derivadas parciais:
nabla T(x,y) = l(partial Tpartial x,,partial Tpartial yr) = (2x,,6y)

Passo 3

Em l(2,tfrac12r) temos
nabla Tl(2,tfrac12r) = (2cdot2,;6cdottfrac12) = (4,3)

Passo 4

Para (a), a direção de maior crescimento é o vetor unitário na direção de (4,3), ou seja
urm max =1|,(4,3)|!(4,3) =15(4,3),
e a taxa máxima de crescimento é o módulo do gradiente, que é
|nabla T(2,tfrac12)| =raiz4^2+3^2 =5

Passo 5

Para (b), a direção de maior decréscimo é o vetor unitário oposto a (4,3), ou seja
urm min =-15(4,3),
e a taxa de decréscimo nessa direção é o negativo do módulo do gradiente, ou seja -5.

Resposta

(a) Direção de maior crescimento: tfrac15(4,3), taxa de crescimento: 5.
(b) Direção de maior decréscimo: -tfrac15(4,3), taxa de decréscimo: -5.

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