Exercício 2 (Entregar). Admita que
representa uma distribuição de temperatura no plano
é a temperatura no ponto (
) (supondo
em graus e
e
em cm).
(a) Estando-se em
, qual a direção e sentido de maior crescimento da temperatura? Qual a taxa de crescimento nesta direção?
(b) Estando-se em
, qual a direção e sentido de maior decréscimo da temperatura? Qual a taxa de decréscimo nesta direção?
(a) Estando-se em
(b) Estando-se em
Passo 1
O enunciado dá a temperatura
e pede, em
, (a) a direção e sentido de maior crescimento de
e sua taxa; (b) a direção e sentido de maior decréscimo e sua taxa. Vamos usar derivadas parciais e gradiente, pois o gradiente aponta a direção de maior crescimento e seu módulo é a taxa máxima de variação.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
, que é o vetor das derivadas parciais:
Passo 3
Em
temos
Passo 4
Para (a), a direção de maior crescimento é o vetor unitário na direção de
, ou seja
e a taxa máxima de crescimento é o módulo do gradiente, que é
Passo 5
Para (b), a direção de maior decréscimo é o vetor unitário oposto a
, ou seja
e a taxa de decréscimo nessa direção é o negativo do módulo do gradiente, ou seja
.
Resposta
(a) Direção de maior crescimento:
, taxa de crescimento:
.
(b) Direção de maior decréscimo: , taxa de decréscimo:
.
(b) Direção de maior decréscimo: