Em cada item, determine se vecF é ou não um campo vetorial conservativo. Se sim, determine um campo escalar f tal que vecF=nabla f.
vecF(x, y, z)=(y z, x z, x y+2 z).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y,z)=(yz,,xz,,xy+2z)
é conservativo e, se for, encontrar um potencial escalar f tal que F=nabla f. Vamos usar a condição de que num domínio simplesmente conexo ( R^3) um campo é conservativo se e somente se seu rotacional for nulo.

Passo 2

Calculamos o rotacional nablatimesF. Usando
nablatimesF =l(partialpartial y(xy+2z)-partialpartial z(xz),; partialpartial z(yz)-partialpartial x(xy+2z),; partialpartial x(xz)-partialpartial y(yz)r),
temos
partialpartial y(xy+2z)=x, partialpartial z(xz)=x, partialpartial z(yz)=y, partialpartial x(xy+2z)=y, partialpartial x(xz)=z, partialpartial y(yz)=z
Logo
nablatimesF=(x-x,;y-y,;z-z)=(0,0,0)

Passo 3

Como o domínio é R^3, que é simplesmente conexo, e nablatimesF=0, concluímos que F é conservativo.

Passo 4

Para achar o potencial f, integramos componente a componente:
  1. De partial f/partial x=yz segue f(x,y,z)=integral yz,dx=xyz + C1(y,z)
  2. De partial f/partial y=xz+partial C1/partial y e sabendo que isto deve ser xz, vem partial C1/partial y=0, então C1=C2(z).
  3. De partial f/partial z=xy + C2'(z) e sabendo que isto deve ser xy+2z, obtemos C2'(z)=2z, logo C2(z)=z^2 + C.
Portanto
f(x,y,z)=xyz + z^2 + C

Resposta

F é conservativo e um potencial escalar é
f(x,y,z)=xyz + z^2 + C

Exercícios relacionados