Questão 10. Calcule os limites a seguir (do tipo infty / infty ):
Sugestão:
  • A soma dos n primeiros números naturais é conhecida pela fórmula n(n+1) / 2.
  • A soma dos quadrados dos n primeiros números naturais é conhecida pela fórmula n(n+1)(2 n+1) / 6.
    lim x -infty x(x-3)(2 x+5)(x-1)(3 x+4)(2-x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite do tipo infty/infty
limxto -infty x(x-3)(2x+5)(x-1)(3x+4)(2-x)
Este é um limite de função racional, e para resolvê-lo vamos usar o comportamento dos termos de maior grau em x.

Passo 2

Vamos achar o termo dominante do numerador. Primeiro expandimos
(x-3)(2x+5)=2x^2 -x -15,
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x(x-3)(2x+5)=xl(2x^2 -x -15r)=2x^3 -x^2 -15x

Passo 3

Agora o denominador. Note que 2-x=-(x-2), então
(x-1)(3x+4)(2-x)=-(x-1)(3x+4)(x-2)
Expandindo somente o termo de maior grau,
(x-1)(3x+4)sim 3x^2 e (x-2)sim x, então
(x-1)(3x+4)(2-x)sim -(3x^2)(x)=-3x^3

Passo 4

Como xto -infty dominam os termos de grau 3, o limite vale o quociente dos coeficientes de x^3:
limxto -infty2x^3+dots-3x^3+dots=2-3=-23

Resposta

-23

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