Questão 9. Esboce o gráfico de uma função f satisfazendo as condições indicadas em cada caso:
  • lim x -infty f(x)=+infty
  • lim x +infty f(x)=-infty
  • não existe lim x -2 f(x)
  • lim x 4 f(x)=3
  • f é descontínua em
x=0

Passo 1

O enunciado pede um esboço de uma função f: Rto R que satisfaça:
  1. limxto-inftyf(x)=+infty
  2. limxto+inftyf(x)=-infty
  3. não exista limxto-2f(x)
  4. limxto4f(x)=3
  5. f é descontínua em x=0
O conteúdo aqui é definir uma função em pedaços (piecewise) usando linhas retas para controlar limites no infinito e em pontos específicos, e depois inserir saltos/discontinuidades onde exigido.

Passo 2

Para garantir
limxto-inftyf(x)=+infty e
limxto+inftyf(x)=-infty,
basta usar um ramo de reta com declive negativo. Por exemplo, a reta
f(x)=-x
para x< -2 faz com que, ao ir para a esquerda, -xto+infty, e ao se aproximar de -2 pelo ramo da esquerda dá um valor finito.

Passo 3

Para criar uma descontinuidade em x=-2 de modo que não exista limite lá, trocamos o ramo por outra reta com o mesmo declive mas intercepto diferente para x>-2. Escolhemos
f(x)=-x+7, x>-2
Então
limxto-2^-f(x) =limxto-2^-(-x)=2, limxto-2^+f(x) =limxto-2^+(-x+7)=9,
e como 2neq9, não existe limxto-2f(x).

Passo 4

Com o ramo ;f(x)=-x+7 para x>-2, ao aproximar xto4 de qualquer lado (direita ou esquerda dentro desse ramo) obtemos
limxto4f(x) =limxto4(-x+7) =-4+7=3,
cumprindo limxto4f(x)=3.

Passo 5

Para garantir descontinuidade em x=0 basta manter o limite lá (que vale -0+7=7) mas definir f(0) diferente de 7. Por exemplo,
f(0)=0
Assim
limxto0f(x)=7neq f(0),
logo f é descontínua em x=0.

Passo 6

Resumindo, uma definição possível é
f(x)= -x, & x< -2, -x+7, & x>-2, xneq0, 0, & x=0, (qualquer valor), & x=-2
No gráfico, temos
  • para x< -2: reta de declive -1 passando pela origem;
  • para x>-2: reta paralela (declive -1, intercepto 7);
  • salto em -2 entre os pontos (-2,2) e (-2,9);
  • em x=0 buraco no ponto (0,7) e ponto cheio em (0,0);
  • em x=4 a reta atinge (4,3) de forma contínua;
  • à direita, a reta continua decrescendo até -infty.

Resposta

Abaixo está o esboço qualitativo do gráfico de f:
Para x< -2: reta descendo com fórmula f(x)=-x.
Para x>-2 (exceto 0): reta paralela f(x)=-x+7.
Ponto cheio em (0,0) e buraco em (0,7).
Salto em -2 entre (-2,2) e (-2,9).
Em x=4, a reta atinge (4,3) sem salto.
À esquerda, f(x)to+infty e à direita f(x)to-infty.

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