Questão 9. Esboce o gráfico de uma função satisfazendo as condições indicadas em cada caso:
não existe
é descontínua em
Passo 1
O enunciado pede um esboço de uma função que satisfaça:
não exista
é descontínua em
O conteúdo aqui é definir uma função em pedaços (piecewise) usando linhas retas para controlar limites no infinito e em pontos específicos, e depois inserir saltos/discontinuidades onde exigido.
Passo 2
Para garantir e ,
basta usar um ramo de reta com declive negativo. Por exemplo, a reta
para faz com que, ao ir para a esquerda, , e ao se aproximar de pelo ramo da esquerda dá um valor finito.
Passo 3
Para criar uma descontinuidade em de modo que não exista limite lá, trocamos o ramo por outra reta com o mesmo declive mas intercepto diferente para . Escolhemos
Então
e como , não existe .
Passo 4
Com o ramo para , ao aproximar de qualquer lado (direita ou esquerda dentro desse ramo) obtemos
cumprindo .
Passo 5
Para garantir descontinuidade em basta manter o limite lá (que vale ) mas definir diferente de . Por exemplo,
Assim ,
logo é descontínua em .
Passo 6
Resumindo, uma definição possível é
No gráfico, temos
para x< -2: reta de declive -1 passando pela origem;
para x>-2: reta paralela (declive -1, intercepto 7);
salto em -2 entre os pontos (-2,2) e (-2,9);
em x=0 buraco no ponto (0,7) e ponto cheio em (0,0);
em x=4 a reta atinge (4,3) de forma contínua;
à direita, a reta continua decrescendo até -infty.
Resposta
Abaixo está o esboço qualitativo do gráfico de f:
Para x< -2: reta descendo com fórmula f(x)=-x.
Para x>-2 (exceto 0): reta paralela f(x)=-x+7.
Ponto cheio em (0,0) e buraco em (0,7).
Salto em -2 entre (-2,2) e (-2,9).
Em x=4, a reta atinge (4,3) sem salto.
À esquerda, f(x)to+infty e à direita f(x)to-infty.