Para cada item, determine se o vetor p(t) é combinação linear de p1(t), p2(t), e p3(t), onde
p1(t)=t^2-t, p2(t)=t^2-2 t+1 e, p3(t)=-t^2+1
P(t)=3 t^2-3 t+1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe escalares a, b e c tais que
a,p1(t)+b,p2(t)+c,p3(t)=P(t),
onde
p1(t)=t^2-t, p2(t)=t^2-2t+1, p3(t)=-t^2+1,
e
P(t)=3t^2-3t+1
O conteúdo é combinação linear de polinômios, e vamos usar a igualdade de coeficientes para polinômios de grau até 2.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e agrupando termos, temos
a,(t^2-t)+b,(t^2-2t+1)+c,(-t^2+1) =(a+b-c),t^2+(-a-2b),t+(b+c)

Passo 3

Igualando coeficientes de t^2, de t e do termo constante com 3t^2-3t+1, montamos o sistema
a + b - c = 3, -,a - 2b = -3, b + c = 1

Passo 4

Da segunda equação vem
-,a - 2b = -3implies a + 2b = 3implies a = 3 - 2b
Da terceira equação vem
b + c = 1implies c = 1 - b
Substituindo a e c na primeira equação:
(3 - 2b) + b - (1 - b) = 3 Longrightarrow 3 - 2b + b -1 + b = 3 Longrightarrow 2 = 3,
o que é impossível. Logo o sistema não tem solução.

Resposta

Não existe (a,b,c) que satisfaça a combinação, isto é, P(t) não é combinação linear de p1(t), p2(t) e p3(t).

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