Para cada item, determine se o vetor dado é combinação linear dos vetores v1, v2 e v3, onde
v1=(1,0,0,1), v2=(1,-1,0,0) e v3=(0,1,2,1)
(0,1,1,-1)

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^4:
v1=(1,0,0,1), v2=(1,-1,0,0), v3=(0,1,2,1)
e pergunta se o vetor
w = (0,1,1,-1)
é combinação linear de v1,v2,v3. Vamos ver se existem escalares a,b,c tais que
a,v1 + b,v2 + c,v3 ;=; w

Passo 2

Escrevendo a combinação
a(1,0,0,1) + b(1,-1,0,0) + c(0,1,2,1) = (0,1,1,-1)
e igualando coordenada a coordenada, obtemos o sistema
a + b = 0, -,b + c = 1, 2,c = 1, a + c = -1

Passo 3

Da terceira equação tiramos diretamente
2,c = 1 Longrightarrow c = tfrac12

Passo 4

Substituindo c=tfrac12 nas outras duas equações:
a + b = 0 Longrightarrow b = -,a,
a + tfrac12 = -1 Longrightarrow a = -1 - tfrac12 = -tfrac32,
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b = -(-tfrac32) = tfrac32

Passo 5

Agora conferimos a segunda equação -b + c = 1:
-,b + c = -tfrac32 + tfrac12 = -1 ;neq; 1
Há uma contradição, ou seja, o sistema é inconsistente.

Resposta

O vetor (0,1,1,-1) não pode ser expresso como combinação linear de v1,v2,v3.

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