Para cada item, determine se o vetor p(t) é combinação linear de p1(t), p2(t), e p3(t), onde
p1(t)=t^2-t, p2(t)=t^2-2 t+1 e, p3(t)=-t^2+1
p(t)=t^2-t+1

Passo 1

O enunciado dá os polinômios
p1(t)=t^2-t, p2(t)=t^2-2t+1, p3(t)=-t^2+1
e pede para verificar se
p(t)=t^2-t+1
é combinação linear de p1,p2,p3. Ou seja, se existem escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha p1(t)+beta p2(t)+gamma p3(t)=p(t)
Como equacionamos polinômios de grau <=2, basta igualar coeficientes dos termos t^2, t e termo constante.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e expandindo:
alpha(t^2 - t)+beta(t^2 -2t+1)+gamma(-t^2+1) =(alpha+beta-gamma),t^2+(-alpha-2beta),t+(beta+gamma)
Devemos igualar isso a
t^2 - t + 1,
logo obtemos o sistema
alpha+beta-gamma = 1, -alpha-2beta = -1, beta+gamma = 1

Passo 3

Resolvendo o sistema:
da segunda equação -alpha-2beta=-1 vem alpha=1-2beta,
da terceira beta+gamma=1 vem gamma=1-beta.
Substituindo em alpha+beta-gamma=1:
(1-2beta)+beta-(1-beta)=1 Longrightarrow 1-2beta+beta-1+beta=1 Longrightarrow 0=1,
o que é absurdo. Logo não há solução para alpha,beta,gamma.

Resposta

p(t) não é combinação linear de p1(t),p2(t),p3(t).

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