Para cada item, determine se o vetor dado é combinação linear dos vetores v1, v2 e v3, onde
v1=(1,0,0,1), v2=(1,-1,0,0) e v3=(0,1,2,1)
v=(-1,4,2,3)

Passo 1

O enunciado dá os vetores em R^4
v1=(1,0,0,1), v2=(1,-1,0,0), v3=(0,1,2,1)
e pergunta se
v=(-1,4,2,3)
é combinação linear de v1,v2,v3. Ou seja, precisamos ver se existem escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha v1+beta v2+gamma v3=v

Passo 2

Escrevendo a combinação genérica em componentes:
alpha v1+beta v2+gamma v3 =(alpha+beta,,-beta+gamma,,2gamma,,alpha+gamma)
Igualando a (-1,4,2,3) obtemos o sistema
alpha+beta = -1, -beta+gamma = 4, 2gamma = 2, alpha+gamma = 3

Passo 3

Da terceira equação segue
2gamma = 2 implies gamma = 1

Passo 4

Substituindo gamma=1 na segunda equação:
-beta + 1 = 4 implies -beta = 3 implies beta = -3

Passo 5

Com beta=-3 na primeira equação:
alpha -3 = -1 implies alpha = 2

Passo 6

Verificamos que na quarta equação
alpha+gamma = 2 + 1 = 3,
que bate com o valor exigido, então o sistema é consistente.

Resposta

Sim.
(-1,4,2,3)=2,v1-3,v2+1,v3

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