Mostre que P2(t) é um subespaço de P3(t)

Passo 1

O enunciado quer que a gente prove que
P2(t)=,p(t)mid p é polinômio de grau at most 2 éô
é um subespaço do espaço vetorial
P3(t)=,q(t)mid q é polinômio de grau at most 3 éô
Para isso, vamos usar o critério de subespaço: uma parte não‐vazia de um espaço vetorial é subespaço se for fechada sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos primeiro que
P2(t)subseteq P3(t)
De fato, todo polinômio p(t) de grau <=2 também tem grau <=3. Logo, qualquer pin P2(t) pertence a P3(t).

Passo 3

Agora mostramos a fechadura de P2(t) sob combinação linear. Seja p(t)=a2t^2+a1t+a0 e r(t)=b2t^2+b1t+b0 dois polinômios em P2(t), e alpha,betainR. Considere
s(t)=alpha,p(t)+beta,r(t)
Então
s(t) =(alpha a2+beta b2),t^2+(alpha a1+beta b1),t+(alpha a0+beta b0),
que é claramente um polinômio de grau <=2. Portanto sin P2(t). Isso mostra fechamento sob soma e multiplicação escalar de uma só vez (fechamento sob combinação linear).

Passo 4

Como P2(t) não é vazio (o polinômio zero está lá), está contido em P3(t) e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que P2(t) é subespaço de P3(t).

Resposta

P2(t) é subespaço de P3(t).

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