Mostre que
é um subespaço de
Passo 1
O enunciado quer que a gente prove que
é um subespaço do espaço vetorial
Para isso, vamos usar o critério de subespaço: uma parte não‐vazia de um espaço vetorial é subespaço se for fechada sob soma e multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos primeiro que
De fato, todo polinômio
de grau
também tem grau
. Logo, qualquer
pertence a
.
Passo 3
Agora mostramos a fechadura de
sob combinação linear. Seja
e
dois polinômios em
, e
. Considere
Então
que é claramente um polinômio de grau
. Portanto
. Isso mostra fechamento sob soma e multiplicação escalar de uma só vez (fechamento sob combinação linear).
Passo 4
Como
não é vazio (o polinômio zero está lá), está contido em
e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que
é subespaço de
.