Mostre que
é um subespaço de
, para n inteiro
Passo 1
O enunciado define
como o espaço vetorial de todos os polinômios em
de grau no máximo
, e
como aqueles de grau no máximo
. Para mostrar que
é subespaço de
, precisamos verificar três propriedades:
- O polinômio zero está em
. - A soma de dois polinômios de
permanece em . - O produto de um escalar qualquer por um polinômio de
permanece em .
Passo 2
Primeiro, o polinômio zero
é de grau
, logo
. Isso garante que
não está vazio.
Passo 3
Sejam
dois polinômios em
. Então a soma é
que ainda é um polinômio de grau
. Portanto
.
Passo 4
Para um escalar
(ou corpo base), temos
que continua sendo de grau
. Logo
.
Resposta
Como
contém o zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é de fato um subespaço de
.