Mostre que Pn-1(t) é um subespaço de Pn(t), para n inteiro >1

Passo 1

O enunciado define Pn(t) como o espaço vetorial de todos os polinômios em t de grau no máximo n, e Pn-1(t) como aqueles de grau no máximo n-1. Para mostrar que Pn-1(t) é subespaço de Pn(t), precisamos verificar três propriedades:
  1. O polinômio zero está em Pn-1(t).
  2. A soma de dois polinômios de Pn-1(t) permanece em Pn-1(t).
  3. O produto de um escalar qualquer por um polinômio de Pn-1(t) permanece em Pn-1(t).

Passo 2

Primeiro, o polinômio zero
0(t)=0
é de grau <= n-1, logo 0(t)in Pn-1(t). Isso garante que Pn-1(t) não está vazio.

Passo 3

Sejam
p(t)=sumi=0^n-1ai,t^i e q(t)=sumi=0^n-1bi,t^i
dois polinômios em Pn-1(t). Então a soma é
p(t)+q(t) =sumi=0^n-1(ai+bi),t^i,
que ainda é um polinômio de grau <= n-1. Portanto p+qin Pn-1(t).

Passo 4

Para um escalar alphainR (ou corpo base), temos
alpha,p(t) =sumi=0^n-1(alpha,ai),t^i,
que continua sendo de grau <= n-1. Logo alpha pin Pn-1(t).

Resposta

Como Pn-1(t) contém o zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que Pn-1(t) é de fato um subespaço de Pn(t).

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