Para cada item, determine se o vetor dado é combinação linear dos vetores v1, v2 e v3, onde
v1=(1,0,0,1), v2=(1,-1,0,0) e v3=(0,1,2,1)
(-1,1,4,3)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor (-1,1,4,3) pode ser escrito como combinação linear dos vetores
v1=(1,0,0,1), v2=(1,-1,0,0), v3=(0,1,2,1)
Ou seja, queremos saber se existem escalares a,b,c tais que
a,v1+b,v2+c,v3=(-1,1,4,3)

Passo 2

Escrevemos a combinação linear em coordenadas e igualamos termo a termo:
a,v1+b,v2+c,v3=(a+b,;-b+c,;2c,;a+c),
portanto devemos ter
a + b = -1,
-b + c = 1,
2c = 4,
a + c = 3

Passo 3

Da terceira equação vem
2c=4implies c=2
Substituindo em -b+c=1 obtemos
-b+2=1implies b=1
E em seguida, de a+b=-1:
a+1=-1implies a=-2

Passo 4

Falta verificar a quarta equação a+c=3. Com a=-2 e c=2 temos
-2 + 2 = 0 neq 3,
ou seja, não há consistência. O sistema é impossível, logo não existem a,b,c que façam a combinação dar o vetor pedido.

Resposta

O vetor (-1,1,4,3) não é combinação linear de v1,v2 e v3.

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