Encontre f.
f^prime prime(x)=2+cos x, f(0)=-1, f(pi)=0.

Passo 1

Resumo do enunciado e estratégia: a função f satisfaz f''(x) = 2 + cos x e as condições f(0) = -1, f(pi) = 0. Para encontrá-la, precisamos integrar duas vezes para obter f'(x) e f(x) e, depois, usar as condições de contorno para achar as constantes de integração.

Passo 2

Integração de f'': integrando f''(x) = 2 + cos x, temos
f'(x) = integral (2 + cos x),dx = 2x + sin x + C1

Passo 3

Integração de f': integrando
f'(x) = 2x + sin x + C1
para obter f(x), resulta
f(x) = x^2 - cos x + C1 x + C2

Passo 4

Aplicação das condições de contorno: substituindo x = 0 em f(x) = x^2 - cos x + C1 x + C2 e igualando a f(0) = -1,
f(0) = -1 + C2 = -1 implies C2 = 0
Em seguida, usando x = pi e f(pi) = 0,
f(pi) = pi^2 + 1 + C1pi = 0 implies C1 = -pi^2+1pi

Passo 5

Função encontrada: substituindo C1 e C2 em f(x), obtemos
f(x) = x^2 - cos x - pi^2 + 1pi , x

Resposta

f(x) = x^2 - cos x - pi^2 + 1pi x

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