Em cada item, diga se a função f é contínua no ponto P indicado. Sugestão. Os exercícios anteriores podem ajudar.
f(x, y)=clly(x-1)^2(x-1)^4+y^2 & , se & (x, y) neq(1,0) 2 & , se & (x, y)=(1,0) e P=(1,0).

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
f(x,y)= dfracy(x-1)^2(x-1)^4+y^2,&se (x,y)neq(1,0) 2,&se (x,y)=(1,0)
e pede para verificar se ela é contínua em
P=(1,0).
Conteúdo envolvido: continuidade de funções de duas variáveis, ou seja, precisamos checar se
lim(x,y)to(1,0)f(x,y)=f(1,0)=2.

Passo 2

Para testar a existência desse limite, lembramos que em R^2 ele deve ser independente do caminho de aproximação. Se encontrarmos caminhos diferentes que levem a valores distintos, o limite não existe.

Passo 3

Para ver essa dependência de caminho, fazemos a mudança
t=x-1 e aproximamos por curvas do tipo y=k,t^2. Assim,
f(1+t,,k t^2)=(k t^2),t^2t^4+(k t^2)^2 =k,t^4t^4+k^2t^4 =k1+k^2
Ao deixar tto0, vemos que o valor do limite é k/(1+k^2), que varia com k.

Passo 4

Como o valor k/(1+k^2) depende do parâmetro k, o limite lim(x,y)to(1,0)f(x,y) não é único e, portanto, não existe. Logo, não pode ser igual a f(1,0)=2, ou seja, f não é contínua em (1,0).

Resposta

A função f não é contínua no ponto P=(1,0).

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