Em cada item, diga se a função é contínua no ponto indicado. Sugestão. Os exercícios anteriores podem ajudar. e .
Passo 1
O enunciado nos dá a função de duas variáveis
e pede para verificar se ela é contínua em P=(1,0).
Conteúdo envolvido: continuidade de funções de duas variáveis, ou seja, precisamos checar se lim(x,y)to(1,0)f(x,y)=f(1,0)=2.
Passo 2
Para testar a existência desse limite, lembramos que em R^2 ele deve ser independente do caminho de aproximação. Se encontrarmos caminhos diferentes que levem a valores distintos, o limite não existe.
Passo 3
Para ver essa dependência de caminho, fazemos a mudança t=x-1 e aproximamos por curvas do tipo y=k,t^2. Assim,
Ao deixar tto0, vemos que o valor do limite é k/(1+k^2), que varia com k.
Passo 4
Como o valor k/(1+k^2) depende do parâmetro k, o limite lim(x,y)to(1,0)f(x,y) não é único e, portanto, não existe. Logo, não pode ser igual a f(1,0)=2, ou seja, f não é contínua em (1,0).