Determine se as seguintes funções são contínuas:
g: R R, dada por g(x)=csen(3 x)3 x, se x neq 0 1, se x=0

Passo 1

Temos a função g:RtoR definida por
g(x)=sin(3x)3x,&xneq0,1,&x=0
Queremos determinar se g é contínua em todo R. Para isso, vamos usar a definição de continuidade ( limxto ag(x)=g(a)) e o limite padrão limtto0sin tt=1.

Passo 2

Para xneq0, a função g(x)=sin(3x)3x é o quociente de duas funções contínuas ( sin(3x) e 3x) com denominador não nulo. Logo, g é contínua em todo ponto xneq0.

Passo 3

Falta verificar a continuidade em x=0. Precisamos checar se
limxto0g(x)=limxto0sin(3x)3x
é igual a g(0)=1. Fazendo a mudança de variável u=3x, temos
limxto0sin(3x)3x=limuto0sin uu=1
Como esse limite coincide com g(0)=1, concluímos que g é contínua em x=0.

Resposta

A função g é contínua em todo o domínio R.

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