Encontre f sabendo que f(0)=0, f^prime(0)=0 e
f^prime prime(x)=cos (2 x)+sen(-3 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função $ f(x) $ sabendo que $ f(0) = 0 $, $ f’(0) = 0 $ e a segunda derivada $ f’’(x) = \cos(2x) + \sin(-3x) $. Isso está relacionado a cálculo diferencial, especificamente à resolução de equações diferenciais de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a segunda derivada $ f’’(x) $ nos dá a taxa de variação da inclinação da função. Para encontrar $ f(x) $, precisamos integrar $ f’’(x) $ duas vezes.

Passo 3

Vamos começar integrando $ f’’(x) $ para encontrar a primeira derivada $ f’(x) $:
f''(x)

Passo 4

Integrando termo a termo:
integral cos(2x) , dx = sin(2x)2 + C1
integral sin(-3x) , dx = -cos(-3x)3 + C2
Mas sabemos que $ \cos(-3x) = \cos(3x) $ e $ C_1 + C_2 = C $, então:
cos(-3x) = cos(3x)

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial $ f’(0) = 0 $ para encontrar a constante $ C $:
f'(0) = 0
C
Então, a primeira derivada fica:
f'(0) = sin(0)2 - cos(0)3 + C = 0

Passo 6

Agora, vamos integrar $ f’(x) $ para encontrar $ f(x) $:
f'(x)

Passo 7

Integrando termo a termo:
integral sin(2x)2 , dx = -cos(2x)4 + C3
integral -cos(3x)3 , dx = -sin(3x)9 + C4
integral 13 , dx = x3 + C5
Novamente, combinando as constantes:
f(x) = -cos(2x)4 - sin(3x)9 + x3 + C

Passo 8

Usamos a condição inicial $ f(0) = 0 $ para encontrar $ C $:
f(0) = 0
C

Resposta

A função $ f(x) $ que satisfaz as condições dadas é:
f(x)

Exercícios relacionados