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sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função $ f(x) $ sabendo que $ f(0) = 0 $, $ f’(0) = 0 $ e a segunda derivada $ f’’(x) = \cos(2x) + \sin(-3x) $. Isso está relacionado a cálculo diferencial, especificamente à resolução de equações diferenciais de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a segunda derivada $ f’’(x) $ nos dá a taxa de variação da inclinação da função. Para encontrar $ f(x) $, precisamos integrar $ f’’(x) $ duas vezes.
Passo 3
Vamos começar integrando $ f’’(x) $ para encontrar a primeira derivada $ f’(x) $:
Passo 4
Integrando termo a termo:
Mas sabemos que $ \cos(-3x) = \cos(3x) $ e $ C_1 + C_2 = C $, então:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial $ f’(0) = 0 $ para encontrar a constante $ C $:
Então, a primeira derivada fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar $ f’(x) $ para encontrar $ f(x) $:
Passo 7
Integrando termo a termo:
Novamente, combinando as constantes:
Passo 8
Usamos a condição inicial $ f(0) = 0 $ para encontrar $ C $:
Resposta
A função $ f(x) $ que satisfaz as condições dadas é: