Determine se as seguintes funções são contínuas:
, dada por
Passo 1
O enunciado pede pra analisar continuidade de uma função por partes, usando limites e definição de continuidade. O conteúdo principal é limite de
em zero e continuidade de funções compostas.
Passo 2
Para
, a função é
. Como seno e função identidade são contínuos e a divisão por uma função que não zera preserva continuidade, concluímos que f é contínua em todo ponto distinto de zero.
Passo 3
Agora em
precisamos verificar se
existe e se coincide com o valor
. Calculamos o limite:
Passo 4
Passo 5
$$
\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{3x}
$$
\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{3x}
$$
Passo 6
Passo 7
Usando a substituição padrão ou o limite fundamental
com
, temos
Passo 8
Passo 9
$$
\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{3x}=1
$$
\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{3x}=1
$$
Passo 10
Passo 11
Como esse limite é 1 e não bate com
, a função não satisfaz a definição de continuidade em x=0.
Passo 12
Portanto f é contínua para todo
e descontínua em
.
Resposta
f é contínua em
e descontínua em
.