Determine se as seguintes funções são contínuas:
f: R R, dada por f(x)=csen(3 x)3 x, se x neq 0 2, se x=0

Passo 1

O enunciado pede pra analisar continuidade de uma função por partes, usando limites e definição de continuidade. O conteúdo principal é limite de em zero e continuidade de funções compostas.

Passo 2

Para , a função é . Como seno e função identidade são contínuos e a divisão por uma função que não zera preserva continuidade, concluímos que f é contínua em todo ponto distinto de zero.

Passo 3

Agora em precisamos verificar se existe e se coincide com o valor . Calculamos o limite:

Passo 4

Passo 5

$$
\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{3x}
$$

Passo 6

Passo 7

Usando a substituição padrão ou o limite fundamental com , temos

Passo 8

Passo 9

$$
\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{3x}=1
$$

Passo 10

Passo 11

Como esse limite é 1 e não bate com , a função não satisfaz a definição de continuidade em x=0.

Passo 12

Portanto f é contínua para todo e descontínua em .

Resposta

f é contínua em Rsetminus0 e descontínua em 0.

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