Em cada item, diga se a função f é contínua no ponto P indicado. Sugestão. Os exercícios anteriores podem ajudar.
(f) f(x, y)=clly sen xx y+2 x & , se & (x, y) neq(0,1) 0 & , se & (x, y)=(0,1) e P=(0,1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função é contínua no ponto P=(0,1). O conteúdo envolvido é continuidade de funções de duas variáveis: para ser contínua em P, devemos ter lim(x,y)to(0,1)f(x,y)=f(0,1). Sabemos que f(0,1)=0.

Passo 2

Para calcular o limite, observamos que, para (x,y)neq(0,1) e xneq0,
f(x,y)=ysin xxy+2x=ysin xx(y+2)=yy+2cdotsin xx

Passo 3

Como (x,y)to(0,1), temos
lim(x,y)to(0,1)yy+2=13,
e
lim(x,y)to(0,1)sin xx=1
Pelo teorema do produto de limites,
lim(x,y)to(0,1)f(x,y)=13cdot1=13

Passo 4

Como esse limite vale 1/3 e f(0,1)=0, eles não coincidem, logo a função não é contínua em P.

Resposta

A função não é contínua em P=(0,1).

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