Em cada item, diga se função f: R R é contínua no ponto x=c.
f(x)=llsen(x-1), & x<1 cos (x pi2), & x >= 1, c=1

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= sin(x-1),&x<1, cosl(tfracpi x2r),&x>=1,
e pede para determinar se f é contínua em c=1. Para isso, vamos usar a definição: f é contínua em c se e somente se
limxto c^-f(x)=f(c)=limxto c^+f(x)

Passo 2

Calcular o limite pela esquerda em x=1:
limxto1^-f(x) =limxto1^-sin(x-1)
Como x-1to0 quando xto1, segue
limxto1^-sin(x-1)=sin(0)=0

Passo 3

Calcular o limite pela direita em x=1:
limxto1^+f(x) =limxto1^+cosl(tfracpi x2r)
Como tfracpi x2totfracpi2 quando xto1, temos
limxto1^+cosl(tfracpi x2r) =cosl(tfracpi2r)=0

Passo 4

Determinar o valor de f em x=1. Como 1>=1, usa-se o segundo ramo:
f(1)=cosl(tfracpicdot12r)=cosl(tfracpi2r)=0

Passo 5

Comparando os resultados:
limxto1^-f(x)=0, f(1)=0, limxto1^+f(x)=0
Todos são iguais, logo f é contínua em x=1.

Resposta

A função f é contínua em c=1.

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