Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente-com a ordem de integração invertida.
integral0^1 integral1^1-2 x d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
D=(x,y)mid 0<= x<=1,;1<= y<=1-2x
e, em seguida, escrever uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida. O conteúdo é análise de integrais duplas e descrição de regiões em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro corrigimos a descrição do domínio: quando escrevemos
integral0^1integral1^,1-2xdy,dx
a região D é, na prática,
D=l(x,y)mid 0<= x<=1,;1-2x<= y<=1r

Passo 3

Para esboçar: as fronteiras são
– a reta y=1, de x=0 até x=1,
– a reta y=1-2x, de x=0 (onde y=1) até x=1 (onde y=-1),
– e a reta vertical x=1, de y=-1 até y=1.
Assim D é o triângulo de vértices (0,1), (1,1) e (1,-1).

Passo 4

Agora invertemos a ordem: para um y fixo em [-1,1], as condições
0<= x<=1 e 1-2x<= y<=1
implicam
1-2x<= y ;Longrightarrow; x>=1-y2,
e sempre x<=1. Logo, para cada yin[-1,1],
1-y2<= x<=1

Passo 5

Portanto a integral com ordem invertida fica
integraly=-1^1integralx=1-y2^1dx,dy

Resposta

integraly=-1^1integralx=1-y2^1dx,dy

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