Para cada item, divida đ‘„đ‘›âˆ’đ‘Žđ‘› por đ‘„âˆ’đ‘Ž e conclua:
Divida x^4-a^5 por x-a e conclua que x^5-a^5=(x-a)(x^4+a x^3+a^2 x^2+a^3 x+a^4)

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinĂŽmio ;x^5 - a^5; por ;x - a; e, a partir disso, mostrar a fatoração da diferença de quintas potĂȘncias. O conteĂșdo principal aqui Ă© a divisĂŁo de polinĂŽmios e o Teorema do Resto (que nos diz que o resto de dividir f(x) por x - a Ă© f(a)).

Passo 2

Como f(x)=x^5 - a^5 tem f(a)=a^5 - a^5=0, sabemos que x-a divide exatamente f(x). Logo existe um quociente Q(x) de grau 4 tal que
x^5 - a^5 = (x - a),Q(x)
Suponha
Q(x)=x^4 + c,x^3 + d,x^2 + e,x + f
EntĂŁo
(x - a)Q(x) = x^5 + c,x^4 + d,x^3 + e,x^2 + f,x - a,x^4 - a,c,x^3 - a,d,x^2 - a,e,x - a,f
Agrupando coeficientes em cada potĂȘncia de x e igualando a x^5 - a^5, obtemos o sistema
c - a = 0, d - a,c = 0, e - a,d = 0, f - a,e = 0, -,a,f = -,a^5
Dessas equaçÔes vem
c=a, d=a^2, e=a^3, f=a^4,
ou seja
Q(x)=x^4 + a,x^3 + a^2,x^2 + a^3,x + a^4

Passo 3

Substituindo Q(x) na igualdade da divisão, concluímos a fatoração desejada:
x^5 - a^5 = (x - a)l(x^4 + a,x^3 + a^2,x^2 + a^3,x + a^4r)

Resposta

x^5 - a^5 = (x - a)l(x^4 + a,x^3 + a^2,x^2 + a^3,x + a^4r)

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