Simplifique:
2 y^3-5 y^2-2 y-34 y^3-13 y^2+4 y-3 (Observe que y=3 é raiz do numerador e do denominador.)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
2y^3-5y^2-2y-34y^3-13y^2+4y-3,
sabendo que y=3 é raiz tanto do numerador quanto do denominador. O conteúdo aqui é fatoração de polinômios e simplificação de frações algébricas. Vamos usar divisão sintética para tirar o fator (y-3) em cada polinômio.

Passo 2

Para fatorar o numerador 2y^3-5y^2-2y-3, aplicamos divisão sintética por y-3.
Coeficientes: 2,;-5,;-2,;-3.
Trazer 2. Multiplicar 2 por 3 e somar a -5 1. Multiplicar 1 por 3 e somar a -2 1. Multiplicar 1 por 3 e somar a -3 0.
Logo o quociente é 2y^2+y+1 e o resto é zero. Assim,
2y^3-5y^2-2y-3 = (y-3)(2y^2 + y + 1)

Passo 3

Para fatorar o denominador 4y^3-13y^2+4y-3, fazemos divisão sintética por y-3.
Coeficientes: 4,;-13,;4,;-3.
Trazer 4. Multiplicar 4 por 3 e somar a -13 -1. Multiplicar -1 por 3 e somar a 4 1. Multiplicar 1 por 3 e somar a -3 0.
Logo o quociente é 4y^2 - y + 1 e o resto é zero. Assim,
4y^3-13y^2+4y-3 = (y-3)(4y^2 - y + 1)

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração, temos
2y^3-5y^2-2y-34y^3-13y^2+4y-3 = (y-3)(2y^2 + y + 1)(y-3)(4y^2 - y + 1)
Cancelamos o fator comum (y-3) (para yneq3), obtendo
2y^2 + y + 14y^2 - y + 1

Passo 5

Verificamos se dá para fatorar mais os quadráticos.
Discriminante do numerador:
De<a1 = 1^2 - 4cdot2cdot1 = -7 < 0,
Discriminante do denominador:
De<a2 = (-1)^2 - 4cdot4cdot1 = -15 < 0
Como ambos são negativos, não há raízes reais e não se fatoram em termos reais. Portanto a forma final está pronta.

Resposta

2y^2 + y + 14y^2 - y + 1

Exercícios relacionados