Para cada item, divida 𝑥𝑛−𝑎𝑛 por 𝑥−𝑎 e conclua:
Divida x^2-a^2 por x-a e conclua que x^2-a^2=(x-a)(x+a)

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio P(x)=x^2-a^2 pelo binômio divisor D(x)=x-a e, a partir disso, concluir a forma fatorada de x^2-a^2. O conteúdo que vamos usar é o algoritmo de divisão de polinômios e o Teorema do Resto.

Passo 2

Pelo Teorema do Resto, ao dividirmos P(x) por x-a, o resto é P(a). Calculamos
P(a)=a^2-a^2=0
Como o resto é zero, isso já nos diz que x-a é fator de P(x); ou seja, existe um quociente Q(x) tal que
P(x)=(x-a),Q(x)

Passo 3

Para encontrar explicitamente Q(x), aplicamos a divisão longa de x^2-a^2 por x-a:
  1. Dividimos o termo líder x^2 por x, obtendo o primeiro termo do quociente: x.
  2. Multiplicamos x pelo divisor: xcdot(x-a)=x^2-a,x
  3. Subtraímos esse produto de x^2-a^2: (x^2-a^2)-l(x^2-a,xr)=a,x - a^2
  4. Dividimos a,x por x, obtendo o próximo termo do quociente: a.
  5. Multiplicamos a pelo divisor: acdot(x-a)=a,x - a^2
  6. Subtraímos e vemos que o resto é zero: (a,x - a^2) - (a,x - a^2)=0
Logo o quociente é
Q(x)=x+a

Passo 4

Juntando tudo, temos
x^2-a^2=(x-a),(x+a)

Resposta

x^2-a^2=(x-a)(x+a)

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