Considere o vetor e os pontos e . Resolva as questões abaixo fazendo um esboço da solução :
(a) Determine um ponto tal que seja um triângulo com lado paralelo ao vetor . Justifique sua escolha! Quantos pontos poderiam ser escolhidos?
(b) Escolha um ângulo EXTERNO desse triângulo e determine o valor do seu cosseno usando o produto escalar. Verifique se nesse triângulo há algum ângulo INTERNO obtuso.
(c) Determine a altura do triângulo relativa ao lado USANDO projeção ortogonal. Determine o ponto pé da perpendicular ao lado passando por .
(d) Determine a área desse triângulo usando o produto vetorial.
(e) Determine um vetor UNITÁRIO que seja ortogonal simultaneamente ao vetores e A C. Quantos existem com essas propriedades?
(f) Determine um ponto D de tal forma que A B C D seja um tetraedro de volume igual a 1.
(g) Calcule a altura desse tetraedro relativa à base A B C usando a projeção ortogonal.
JUSTIQUE TODAS AS SUAS RESPOSTAS!
Passo 1
Deixa eu resumir rapidinho: a gente tem o vetor vec u=(1,2,3) e os pontos A=(1,0,1), C=(2,1,0). Precisamos achar um ponto B tal que ABparal<=lvec u, calcular ângulos internos e externos via produto escalar, ver se há ângulo obtuso, achar a altura de ABC em relação a AC (ponto H), calcular área via produto vetorial, achar vetores unitários ortogonais a AB e AC, construir um ponto D que dê volume 1 ao tetraedro ABCD e, por fim, a altura deste tetraedro.
Passo 2
Para ter ABparal<=lvec u basta usar AB=t,vec u. Como A=(1,0,1), escolho por simplicidade t=1, ou seja B=A+vec u=(2,2,4). Em geral qualquer tneq0 dá um B diferente (logo infinitos pontos).
Passo 3
Agora calculo os vetores de lados: AB=(1,2,3), AC=(1,1,-1), e em B os vetores BA=(-1,-2,-3), BC=(0,-1,-4). O cosseno do ângulo interno em B é
Logo o cosseno do ângulo externo em B é cosext=-cos(ang<= ABC)=-raiz14raiz17. Calculando também cos(ang<= CAB)=0 e cos(ang<= ACB)=tfrac3raiz51>0, vemos que não há ângulo interno obtuso.
Passo 4
Como deu ABcdotAC=0, os lados AB e AC são perpendiculares. O pé H da altura de B em AC é exatamente A, e a altura é
Para achar D tal que o volume de ABCD seja 1 usamos o produto misto:
V=16l| (ABtimesAC)cdot(AD)r|=1
Escolhendo AD=vec w,d com d>0, temos
|ABtimesAC|,d=6implies d=6raiz42
Assim, por exemplo,
D=A+vec w,6raiz42=(1,0,1)pm642(-5,4,-1)=(tfrac27,tfrac47,tfrac67) ou com sinal trocado
A altura do tetraedro relativa à base ABC vale exatamente esse d=6raiz42.
Resposta
(a) Um ponto conveniente é B=(2,2,4); há infinitos pois B=A+t·u com t≠0. (b) cos interno em B=√14/√17 ⇒ cos externo em B=−√14/√17; não há ângulo interno obtuso. (c) H=A, altura h=√14. (d) área=√42/2. (e) vetores unitários ortogonais a AB,AC: w=±(−5,4,−1)/√42 (2 soluções). (f) Por exemplo D=(2/7,4/7,6/7) ou seu simétrico, dando volume 1. (g) altura do tetra=6/√42.