Em cada item encontrar uma função f satisfazendo:
f^prime(x)=4 xx^2-1 e f(0)=-3.

Passo 1

O enunciado pede para achar uma função f tal que sua derivada seja f’(x)=4x/(x²–1) e que f(0)=–3. O conteúdo aqui é integração de uma função racional simples, usando substituição para encontrar a primitiva e depois impor a condição inicial.

Passo 2

Para calcular f(x), fazemos a integral indefinida de f’(x). Usamos a substituição u=x²–1, de modo que du=2x dx. Assim,
integral 4xx²-1,dx = integral 2cdot 2xx²-1,dx = 2integral duu = 2ln|u| + C = 2ln|x²-1| + C²²²

Passo 3

Agora temos f(x)=2\ln|x²-1|+C. Para determinar C, usamos a condição f(0)=–3:
f(0)=2ln|0²-1|+C = 2ln1 + C = 0 + C = -3,²

Passo 4

logo C=–3.

Resposta

f(x)=2\ln|x²-1| - 3

Exercícios relacionados