Uma substância se transforma em outra com velocidade proporcional à quantidade de substância não transformada. Sabemos que quantidade da primeira substância é 31,4 gramas após 1 hora e 9,7 gramas após 3 horas. Determinar a quantidade de substância existia no começo do processo.

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos uma substância que está se transformando em outra com uma velocidade proporcional à quantidade que ainda não foi transformada. Isso significa que quanto mais substância restar, mais rápido ela está se transformando. Para resolver isso, vamos usar o conceito de decadência exponencial, que é comum em processos onde a taxa de mudança depende da quantidade presente.

Passo 2

Vamos começar estabelecendo a relação matemática. Se a taxa de transformação é proporcional à quantidade não transformada, podemos escrever isso como uma equação diferencial:
dNdt = -kN
Aqui, é a quantidade de substância no tempo , e é a constante de proporcionalidade (taxa de decaimento) que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A solução geral dessa equação é uma função exponencial:
N(t) = N0 cdot e^-kt
Onde é a quantidade inicial da substância no tempo .

Passo 4

Sabemos duas situações:
  • Após 1 hora ( ), gramas.
  • Após 3 horas ( ), gramas.
Vamos usar esses dados para encontrar e .

Passo 5

Primeiro, substituímos 31,4 = N0 cdot e^-k cdot 1 na equação:
9,7 = N0 cdot e^-k cdot 3
E :

Passo 6

Dividindo a segunda equação pela primeira para eliminar 9,731,4 = e^-3ke^-k = e^-2k :
9,731,4 approx 0,309
Calculando o lado esquerdo:
0,309 = e^-2k
Então:

Passo 7

Para encontrar ln(0,309) = -2k , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
-1,175 = -2k
k = 1,1752 approx 0,5875 , h^-1

Passo 8

Agora que temos 31,4 = N0 cdot e^-0,5875 cdot 1 , podemos encontrar 31,4 = N0 cdot e^-0,5875 approx N0 cdot 0,555 usando uma das equações iniciais. Vamos usar N0 = 31,40,555 approx 56,55 , gramas :

Resposta

A quantidade inicial da substância era aproximadamente 56,55 gramas.

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