Uma substância se transforma em outra com velocidade proporcional à quantidade de substância não transformada. Sabemos que quantidade da primeira substância é 31,4 gramas após 1 hora e 9,7 gramas após 3 horas. Determinar a quantidade de substância existia no começo do processo.
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos uma substância que está se transformando em outra com uma velocidade proporcional à quantidade que ainda não foi transformada. Isso significa que quanto mais substância restar, mais rápido ela está se transformando. Para resolver isso, vamos usar o conceito de decadência exponencial, que é comum em processos onde a taxa de mudança depende da quantidade presente.
Passo 2
Vamos começar estabelecendo a relação matemática. Se a taxa de transformação é proporcional à quantidade não transformada, podemos escrever isso como uma equação diferencial:
Aqui,
é a quantidade de substância no tempo
, e
é a constante de proporcionalidade (taxa de decaimento) que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A solução geral dessa equação é uma função exponencial:
Onde
é a quantidade inicial da substância no tempo
.
Passo 4
Sabemos duas situações:
- Após 1 hora (
), gramas. - Após 3 horas (
), gramas.
Vamos usar esses dados para encontrar
e
.
Passo 5
Primeiro, substituímos
na equação:
E
:
Passo 6
Dividindo a segunda equação pela primeira para eliminar
:
Calculando o lado esquerdo:
Então:
Passo 7
Para encontrar
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 8
Agora que temos
, podemos encontrar
usando uma das equações iniciais. Vamos usar
:
Resposta
A quantidade inicial da substância era aproximadamente 56,55 gramas.