Em cada item, encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por:
C: r=\frac{-2}{4 \cos (\theta)+\sin (\theta)}.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva C em coordenadas polares por
r = \frac{-2}{4 \cos(\theta) + \sin(\theta)}.
Queremos a equação equivalente em coordenadas cartesianas. Para isso usaremos as relações
x = r\cos(\theta), \quad y = r\sin(\theta).

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados de
r = \frac{-2}{4 \cos(\theta) + \sin(\theta)}
por 4\cos(\theta)+\sin(\theta), obtendo
r\bigl(4\cos(\theta)+\sin(\theta)\bigr) = -2.

Passo 3

Como r\cos(\theta)=x e r\sin(\theta)=y, substituímos na equação anterior e temos
4x + y = -2,
ou, reorganizando,
4x + y + 2 = 0.

Resposta

4x + y + 2 = 0

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