Calcule a área da região delimitada pelas retas em coordenadas polares r=\operatorname{sec} (\theta), \theta=0 e \theta=\pi / 3.

Passo 1

O enunciado pede a área da região em coordenadas polares limitada pela curva
r = \operatorname{sec}(\theta)
e pelas retas \theta = 0 e \theta = \pi/3.
O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares e vamos usar a fórmula padrão para áreas nessas coordenadas.

Passo 2

Em coordenadas polares, a área A de uma região limitada por \theta=\alpha e \theta=\beta e por r=f(\theta) é dada por
A = \frac12 \int_{\alpha}^{\beta} \bigl(f(\theta)\bigr)^2 \,d\theta.
Aqui temos f(\theta)=\operatorname{sec}(\theta), \alpha=0 e \beta=\pi/3.

Passo 3

Substituindo f(\theta)=\operatorname{sec}(\theta) na fórmula, obtemos
A = \frac12 \int_{0}^{\pi/3} \operatorname{sec}^2(\theta)\,d\theta.

Passo 4

Sabemos que
\frac{d}{d\theta}\bigl(\tan(\theta)\bigr) = \operatorname{sec}^2(\theta),
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\int_{0}^{\pi/3} \operatorname{sec}^2(\theta)\,d\theta = \bigl[\tan(\theta)\bigr]_{0}^{\pi/3} = \tan\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) - \tan(0) = \sqrt{3} - 0 = \sqrt{3}.

Passo 5

Portanto,
A = \frac12 \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}

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