Mostre que os pontos, dados em coordenadas polares, A=(1, \pi / 3), B=(\sqrt{3}, \pi / 6) e C=(1,0) são vértices de um triângulo equilátero.

Passo 1

O enunciado dá três pontos em coordenadas polares
A=(1,\pi/3), B=(\sqrt{3},\pi/6) e C=(1,0)
e pede para mostrar que eles são vértices de um triângulo equilátero.
Vamos converter em coordenadas cartesianas e comparar as três distâncias entre pares de pontos.

Passo 2

Converter para coordenadas cartesianas:
A partir de (r,\theta)\mapsto(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta), temos
A:\;x_A=1\cdot\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac12,\quad y_A=1\cdot\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac{\sqrt3}{2},
B:\;x_B=\sqrt{3}\,\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{3}{2},\quad y_B=\sqrt{3}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{\sqrt3}{2},
C:\;x_C=1\cdot\cos(0)=1,\quad y_C=1\cdot\sin(0)=0.

Passo 3

Calcular as distâncias entre cada par:
Para \overline{AB}:
AB = \sqrt{\bigl(x_B - x_A\bigr)^2 + \bigl(y_B - y_A\bigr)^2} = \sqrt{\bigl(\tfrac32 - \tfrac12\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{\sqrt3}{2} - \tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)^2} = \sqrt{1^2 + 0} = 1.
Para \overline{BC}:
BC = \sqrt{\bigl(x_C - x_B\bigr)^2 + \bigl(y_C - y_B\bigr)^2} = \sqrt{\bigl(1 - \tfrac32\bigr)^2 + \bigl(0 - \tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)^2} = \sqrt{\bigl(-\tfrac12\bigr)^2 + \bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)^2} = \sqrt{\tfrac14 + \tfrac34} = 1.
Para \overline{CA}:
CA = \sqrt{\bigl(x_A - x_C\bigr)^2 + \bigl(y_A - y_C\bigr)^2} = \sqrt{\bigl(\tfrac12 - 1\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{\sqrt3}{2} - 0\bigr)^2} = \sqrt{\bigl(-\tfrac12\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)^2} = \sqrt{\tfrac14 + \tfrac34} = 1.

Passo 4

Como AB=BC=CA=1, todas as arestas são iguais, logo o triângulo é equilátero.

Resposta

Os pontos A, B e C formam um triângulo equilátero de lado 1.

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