Em cada item, encontre uma equação em coordenadas cartesianas para a curva cuja equação em coordenadas polares é dada por:
C: r=6 \cos (\theta)-8 \sin (\theta).

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = 6\cos(\theta) \;-\; 8\sin(\theta)
e pede a equação em coordenadas cartesianas. Vamos usar as relações
\;x = r\cos(\theta), \;y = r\sin(\theta) e \;r^2 = x^2 + y^2.

Passo 2

Multiplicamos os dois lados da equação polar por r, para envolver r^2:
r^2 = 6\,r\cos(\theta)\;-\;8\,r\sin(\theta)

Passo 3

Agora substituímos \;r^2 = x^2 + y^2, \;r\cos(\theta)=x e \;r\sin(\theta)=y. Isso dá
x^2 + y^2 = 6x \;-\; 8y

Passo 4

Para reconhecer a forma geométrica, completamos o quadrado em x e em y:
x^2 - 6x + y^2 + 8y = 0
(x - 3)^2 - 9 \;+\;(y + 4)^2 - 16 = 0
(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25
Isso mostra que a curva é um círculo de centro (3,-4) e raio 5.

Resposta

(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25

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