Dado um triângulo qualquer, mostre que existe outro com lados paralelos e congruentes às medianas do primeiro.
Sugestāo: Tome um ponto O qualquer e considere os pontos X=O+\overrightarrow{A N}, Y=X+\overrightarrow{B P} e Z=Y+\overrightarrow{C M}. Mostre que Z=0 e que O, X, Y não são colineares.
Passo 1
Temos um triângulo ABC qualquer e queremos mostrar que existe um outro triângulo cujos lados sejam paralelos e congruentes às medianas de ABC. Vamos usar geometria vetorial. Denotamos por N, P e M os pontos médios de BC, CA e AB, respectivamente, de modo que as medianas são os vetores \overrightarrow{AN}, \overrightarrow{BP} e \overrightarrow{CM}.
Passo 2
Escolhemos um ponto arbitrário O. Definimos então:
X \;=\; O + \overrightarrow{AN},
Y \;=\; X + \overrightarrow{BP},
Z \;=\; Y + \overrightarrow{CM}.
Os segmentos OX, XY e YZ têm, por construção, direção e comprimento iguais a \overrightarrow{AN}, \overrightarrow{BP} e \overrightarrow{CM}, respectivamente.
Passo 3
Para ver que Z=O, computamos o vetor \overrightarrow{OZ}:
Logo \overrightarrow{OZ}=\overrightarrow{0}, isto é, Z=O.
Passo 5
Falta ver que O, X e Y não são colineares. Como \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{AN} e \overrightarrow{XY}=\overrightarrow{BP}, se esses vetores fossem colineares então \overrightarrow{AN} e \overrightarrow{BP} seriam paralelos. Mas duas medianas de um triângulo não são paralelas — elas se encontram no centróide — logo O, X e Y não estão numa mesma reta.