Dado um triângulo qualquer, mostre que existe outro com lados paralelos e congruentes às medianas do primeiro.
Sugestāo: Tome um ponto O qualquer e considere os pontos X=O+\overrightarrow{A N}, Y=X+\overrightarrow{B P} e Z=Y+\overrightarrow{C M}. Mostre que Z=0 e que O, X, Y não são colineares.

Passo 1

Temos um triângulo ABC qualquer e queremos mostrar que existe um outro triângulo cujos lados sejam paralelos e congruentes às medianas de ABC. Vamos usar geometria vetorial. Denotamos por N, P e M os pontos médios de BC, CA e AB, respectivamente, de modo que as medianas são os vetores
\overrightarrow{AN}, \overrightarrow{BP} e \overrightarrow{CM}.

Passo 2

Escolhemos um ponto arbitrário O. Definimos então:
X \;=\; O + \overrightarrow{AN},
Y \;=\; X + \overrightarrow{BP},
Z \;=\; Y + \overrightarrow{CM}.
Os segmentos OX, XY e YZ têm, por construção, direção e comprimento iguais a \overrightarrow{AN}, \overrightarrow{BP} e \overrightarrow{CM}, respectivamente.

Passo 3

Para ver que Z=O, computamos o vetor \overrightarrow{OZ}:
\overrightarrow{OZ} =\overrightarrow{OX}+\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ} =\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM}.

Passo 4

Mostramos que
\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}.
De fato, como N é o ponto médio de BC,
\overrightarrow{AN}=\tfrac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}).
Analogamente,
\overrightarrow{BP}=\tfrac12(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}), \quad \overrightarrow{CM}=\tfrac12(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}).
Somando tudo:
\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM} =\tfrac12\bigl((\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}) +(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC})\bigr) =\tfrac12\bigl(\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}\bigr) =\overrightarrow{0}.
Logo \overrightarrow{OZ}=\overrightarrow{0}, isto é, Z=O.

Passo 5

Falta ver que O, X e Y não são colineares. Como \overrightarrow{OX}=\overrightarrow{AN} e \overrightarrow{XY}=\overrightarrow{BP}, se esses vetores fossem colineares então \overrightarrow{AN} e \overrightarrow{BP} seriam paralelos. Mas duas medianas de um triângulo não são paralelas — elas se encontram no centróide — logo O, X e Y não estão numa mesma reta.

Resposta

O triângulo OXY satisfaz
\overrightarrow{OX}=\overrightarrow{AN}, \quad \overrightarrow{XY}=\overrightarrow{BP}, \quad \overrightarrow{YO}=\overrightarrow{CM},
isto é, seus lados são paralelos e congruentes às medianas de ABC.

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